Đề thi HSG Toán 9 Huyện Kim Thành – Năm học 2022 – 2023

Đề thi HSG Toán 9 Huyện Kim Thành – Năm học 2022 – 2023

 Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: $B=\left( 1-\frac{2\sqrt{a}}{a+1} \right):\left( \frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}+a+1} \right)$ với $a\ge ;a\ne 1$
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức $B$ khi $a=2023-2\sqrt{2022}$.
b) Chứng minh rằng $A=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{56}{54}}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{56}{54}}}$ là một số nguyên.

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{7-x}=3$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}+x{{y}^{2}}=2{{y}^{3}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\
\end{align} \right.$

Câu 3. (2,0 điểm)
a) Tìm $a,b$ để đa thức $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+ax+b$chia cho đa thức $x-1$dư $2$, chia cho đa thức $x-2$ dư $17$.
b) Cho $a,b,c$ là ba số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$. Chứng minh rằng $M=a+b$ là số chính phương.

Câu 4. (3,0 điểm)
1) Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$. Kẻ $HI\bot AB,HK\bot AC\,\left( I\in AB,K\in AC \right)$. Chứng minh :
a) $\frac{BI}{CK}=\frac{A{{B}^{3}}}{A{{C}^{3}}}$
b) $CK.\sqrt{BH}+BI.\sqrt{CH}=AH.\sqrt{BC}$
2) Cho $\Delta ABC$có $G$ là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua $G$ cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng: $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3$.

Câu 5. (1,0 điểm)
Cho các số dương $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn $xy+yz+zx=xyz$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}$

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.     (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức: $B=\left( 1-\frac{2\sqrt{a}}{a+1} \right):\left( \frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}+a+1} \right)$ với $a\ge 0;a\ne 1$

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức $B$ khi $a=2023-2\sqrt{2022}$.

b) Chứng minh rằng $A=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{56}{54}}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{56}{54}}}$ là một số nguyên.

Lời giải

a) Với $a\ge 0;a\ne 1$ ta có:

$B=\left( 1-\frac{2\sqrt{a}}{a+1} \right):\left( \frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}+a+1} \right)$

$B=\frac{a+1-2\sqrt{a}}{a+1}:\left( \frac{a+1}{\left( a+1 \right)\left( 1+\sqrt{a} \right)}-\frac{2\sqrt{a}}{\left( a+1 \right)\left( 1+\sqrt{a} \right)} \right)$

$B=\frac{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}{a+1}:\frac{a+1-2\sqrt{a}}{\left( a+1 \right)\left( 1+\sqrt{a} \right)}$

$B=\frac{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}{a+1}:\frac{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}{\left( a+1 \right)\left( 1+\sqrt{a} \right)}$

$B=\frac{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}{a+1}.\frac{\left( a+1 \right)\left( 1+\sqrt{a} \right)}{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}$

$B=1+\sqrt{a}$

Vậy $B=1+\sqrt{a}$với $a\ge 0;a\ne 1$

Khi $a=2023-2\sqrt{2022}={{\left( \sqrt{2022}-1 \right)}^{2}}$(thỏa mãn điều kiện)

$\Rightarrow \sqrt{a}=\sqrt{2022}-1$

Khi đó $B=1+\sqrt{2022}-1$

$B=\sqrt{2022}$

Vậy $B=\sqrt{2022}$ khi $a=2023-2\sqrt{2022}$.

b) Ta có $A=\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{56}{54}}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{56}{54}}}$

$\Rightarrow {{A}^{3}}=1+\sqrt{\frac{56}{54}}+1-\sqrt{\frac{56}{54}}+3\sqrt[3]{1+\sqrt{\frac{56}{54}}}.\sqrt[3]{1-\sqrt{\frac{56}{54}}}.A$

$\Rightarrow {{A}^{3}}=2+3.\sqrt[3]{1-\frac{56}{54}}.A$

$\Rightarrow {{A}^{3}}=2+3.\sqrt[3]{-\frac{2}{54}}.A$

$\Rightarrow {{A}^{3}}=2-A$

$\Rightarrow {{A}^{3}}+A-2=0$

$\Rightarrow \left( A-1 \right)\left( {{A}^{2}}+A+2 \right)=0$

Vì ${{A}^{2}}+A+2>0\forall A$

$\Rightarrow A=1$

Vậy $A$ là một số nguyên.

Câu 2.     (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{7-x}=3$.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}+x{{y}^{2}}=2{{y}^{3}} \\& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\\end{align} \right.$

Lời giải

a) $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{7-x}=3$

$\Leftrightarrow x+2+7-x+3\sqrt[3]{\left( x+2 \right)\left( 7-x \right)}\left( \sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{7-x} \right)=27$

$\Leftrightarrow 9+9\sqrt[3]{\left( x+2 \right)\left( 7-x \right)}=27$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt[3]{\left( x+2 \right)\left( 7-x \right)}=3$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\left( x+2 \right)\left( 7-x \right)}=2$

$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( 7-x \right)=8$

$\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+5x+14=8$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x-6=0$

$\Leftrightarrow \left( x-6 \right)\left( x+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=6 \\& x=-1 \\\end{align} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ 6;-1 \right\}$.

b) $\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}+x{{y}^{2}}=2{{y}^{3}}\,\,\left( 1 \right) \\& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3\,\,\left( 2 \right) \\\end{align} \right.$

Ta thấy $x=0$không là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$nên chia cả hai vế của phương trình $\left( 1 \right)$cho ${{x}^{3}}$ ta có:

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{3}}+\frac{x}{y}-2=0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{x}{y}-1 \right)\left[ {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+\frac{x}{y}+2 \right]=0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}-1=0$ (vì ${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2}}+\frac{x}{y}+2={{\left( \frac{x}{y}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0$)

$\Leftrightarrow x=y$

Thay vào $\left( 2 \right)$ ta có $3{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=y=1 \\& x=y=-1 \\\end{align} \right.$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ \left( 1;1 \right);\left( -1;-1 \right) \right\}$.

Câu 3.     (2,0 điểm)

a) Tìm $a,b$để đa thức $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+ax+b$chia cho đa thức $x-1$dư $2$, chia cho đa thức $x-2$dư $17$.

b) Cho $a,b,c$là ba số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$. Chứng minh rằng $M=a+b$là số chính phương.

Lời giải

a) Vì đa thức $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+ax+b$chia cho đa thức $x-1$dư $2$, chia cho đa thức $x-2$dư $17$

Nên ta có $\left\{ \begin{align}& f\left( 1 \right)=2 \\& f\left( 2 \right)=17 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a+b+3=2 \\& 2a+b+16=17 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a+b=-1 \\& 2a+b=1 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=2 \\& b=-3 \\\end{align} \right.$

Vậy $a=2;b=-3$.

b) Ta có $\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

$\Rightarrow ab=bc+ac$

$\Rightarrow {{c}^{2}}+ab-bc-ac={{c}^{2}}$

$\Rightarrow \left( a-c \right)\left( b-c \right)={{c}^{2}}$

Gọi $d$là $UC\left( a-c;b-c \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a-c\vdots d \\& b-c\vdots d \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow \left( a-c \right)\left( b-c \right)\vdots {{d}^{2}}$

$\Rightarrow {{c}^{2}}\vdots {{d}^{2}}\,\Rightarrow c\vdots d$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a\vdots d \\& b\vdots d \\\end{align} \right.$

Mà $a,b,c$nguyên tố cùng nhau nên $d=1$

$\Rightarrow UCLN\left( a-c;b-c \right)=1$

Mà $\left( a-c \right)\left( b-c \right)$ là số chính phương nên $\left( a-c \right);\,\left( b-c \right)$ là các số chính phương.

Câu 4.      (3,0 điểm)

1) Cho $\Delta ABC$vuông tại $A$, có đường cao $AH$. Kẻ $HI\bot AB,HK\bot AC\,\left( I\in AB,K\in AC \right)$. Chứng minh :

a) $\frac{BI}{CK}=\frac{A{{B}^{3}}}{A{{C}^{3}}}$

b) $CK.\sqrt{BH}+BI.\sqrt{CH}=AH.\sqrt{BC}$

2) Cho $\Delta ABC$có $G$là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua $G$cắt các cạnh $AB,AC$lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng: $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3$.

Lời giải

 

1)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$đường cao $AH$ có:

$A{{B}^{2}}=BH.BC;\,A{{C}^{2}}=CH.CB$

$\Rightarrow \frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{BH}{CH}$ $\Rightarrow \frac{A{{B}^{4}}}{A{{C}^{4}}}=\frac{B{{H}^{2}}}{C{{H}^{2}}}$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$đường cao $HI$ có: $B{{H}^{2}}=BI.BA$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$đường cao $HK$ có: $C{{H}^{2}}=CK.CA$

$\Rightarrow \frac{A{{B}^{4}}}{A{{C}^{4}}}=\frac{BI.BA}{CK.CA}$

Vậy $\frac{BI}{CK}=\frac{A{{B}^{3}}}{A{{C}^{3}}}$

b) Có $CK.\sqrt{BH}+BI.\sqrt{CH}=AH.\sqrt{BC}$

$\Leftrightarrow CK.\sqrt{BH.BC}+BI.\sqrt{CH.BC}=AH.\sqrt{B{{C}^{2}}}$

$\Leftrightarrow CK.\sqrt{A{{B}^{2}}}+BI.\sqrt{A{{C}^{2}}}=AH.\sqrt{B{{C}^{2}}}$

$\Leftrightarrow CK.AB+BI.AC=AH.BC$

$\Leftrightarrow CK.AB+BI.AC=AH.BC$

Xét $\Delta ABC$ có $HK\,\text{//}\,AB$(cùng vuông góc với $AC$)

$\Rightarrow \frac{CK}{CA}=\frac{CH}{BC}$

Xét $\Delta ABC$ có $HI\,\text{//}\,AC$(cùng vuông góc với $AB$)

$\Rightarrow \frac{BI}{BA}=\frac{BH}{BC}$

$\Rightarrow \frac{CK}{CA}+\frac{BI}{BA}=\frac{CH}{BC}+\frac{BH}{BC}$

$\Rightarrow \frac{CK}{CA}+\frac{BI}{BA}=1$

$\Rightarrow CK.AB+BI.CA=AB.AC$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$đường cao $AH$ có: $AH.BC=AB.AC$

Vậy $CK.\sqrt{BH}+BI.\sqrt{CH}=AH.\sqrt{BC}$.

2)

Gọi $D$là trung điểm của $BC$

$BH\,\text{//}\,MN,\,CK\,\text{//}\,MN\,\left( M,N\in AD \right)$ $\Rightarrow BH\,\text{//}\,CK$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta CDK$ có:

$DB=DC$

$\widehat{BDH}=\widehat{CDK}$

$\widehat{HBD}=\widehat{KCD}$(vì $BH\,\text{//}\,CK$)

$\Rightarrow \Delta BDH=\Delta CDK$(g-c-g)

$\Rightarrow DH=DK$

Xét $\Delta ABH$ có $MG\,\text{//}\,BH$nên $\frac{AB}{AM}=\frac{AH}{AG}$

 

Xét $\Delta ACK$ có $NG\,\text{//}\,CK$nên $\frac{AC}{AN}=\frac{AK}{AG}$

$\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AH}{AG}+\frac{AK}{AG}=\frac{AH+AK}{AG}=\frac{AG+GH+AG+GH+HK}{AG}$

$=\frac{2AG+2GH+2HD}{AG}=\frac{2AD}{AG}=2.\frac{3}{2}=3$

Vậy $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3$

Câu 5.    (1,0 điểm)

Cho các số dương $x,y,z$thay đổi thỏa mãn $xy+yz+zx=xyz$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}$

Lời giải

Có $xy+yz+zx=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{{{a}^{2}}}{x}+\frac{{{b}^{2}}}{y}+\frac{{{c}^{2}}}{z}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{x+y+z}$ với $a,b,c>0$

Ta có: $\frac{{{4}^{2}}}{4x}+\frac{{{3}^{2}}}{3y}+\frac{{{1}^{2}}}{z}\ge \frac{{{\left( 4+3+1 \right)}^{2}}}{4x+3y+z}\Rightarrow \frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{64}{4x+3y+z}$

$\Rightarrow \frac{1}{4x+3y+z}\le \frac{1}{64}\left( \frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z} \right)$

Chứng minh tương tự ta có:

$\frac{1}{x+4y+3z}\le \frac{1}{64}\left( \frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z} \right)$

$\frac{1}{3x+y+4z}\le \frac{1}{64}\left( \frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z} \right)$

$\Rightarrow M=\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\le \frac{1}{8}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)$

$\Rightarrow M\le \frac{1}{8}$. Dấu $”=”$xảy ra khi $x=y=z=3$

Vậy $M$đạt giá trị lớn nhất là $\frac{1}{8}$ khi $x=y=z=3$.