Đề thi HSG Toán 9 Huyện Lập Thạch (Vĩnh Phúc) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Lập Thạch (Vĩnh Phúc) – Năm học 2020 – 2021
Câu 1: ( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng: $A=\,\left[ {{n}^{3}}{{\left( {{n}^{2}}-7 \right)}^{2}}-36n \right] \,\,\vdots \,\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\in \mathbb{Z}$
b) Cho $P={{n}^{4}}+4$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $P$ là số nguyên tố.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $a$ thỏa mãn $\left( {{2020}^{2020}}+1 \right)$ chia hết $\left( {{a}^{3}}+2021a \right)$
b) Cho đa thức $F\left( x \right)={{x}^{3}}+ax+b$ với $\left( a,b\in R \right)$. Biết đa thức $F\left( x \right)$ chia cho $\left( x-2 \right)$ thì dư 12, $F\left( x \right)$ chia cho $\left( x+1 \right)$ dư $-6$. Tính giá trị của biểu thức:
$B=\left( 6a+3b-11 \right)\left( 26-5a+5b \right)$
Câu 3: (1.5 điểm) Cho các số $a,b,c,d$ nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:
$\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6$
Chứng minh $A=abcd$ là số chính phương.
Câu 4: (2 điểm)
Chứng minh rằng $a\left( b-c \right){{\left( b+c-a \right)}^{2}}+c\left( a-b \right){{\left( a+b-c \right)}^{2}}=b\left( a-c \right){{\left( a+c-b \right)}^{2}}$.
Câu 5: (2 điểm)
Cho $x+y=1,xy\ne 0$. Tính $P=\frac{x}{{{y}^{3}}-1}-\frac{y}{{{x}^{3}}-1}+\frac{2\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+3}$.
Câu 6: (1,5 điểm) Cho $x\ne \pm y$ và $\frac{y}{x+y}+\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}+\frac{8{{y}^{8}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{8}}}=2020$. Tính tỉ số $\frac{x}{y}$?.
Câu 7: (2 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Câu 8: (1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=xy(x-2)(y+6)+12{{x}^{2}}-24x+3{{y}^{2}}+8y+2050$. $$
Câu 9: (4,0 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$, $M$là một điểm tùy ý trên đường chéo $BD$. Kẻ $ME\bot AB,MF\bot AD$
a) Chứng minh $DE=CF$ .
b) Chứng minh ba đường thẳng $DE,BF,CM$đồng quy.
c) Xác định vị trí điểm $M$ để diện tích tứ giác $AEMF$ lớn nhất.
Câu 10: (1 điểm) Cho 1 lưới ô vuông có kích thước 5×5. Người ta điền vào mỗi ô của lưới 1 trong các số -1, 0, 1. Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằng nhau.
