Đề thi HSG Toán 9 Huyện Nghi Lộc (Nghệ An) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Nghi Lộc (Nghệ An) – Năm học 2020 – 2021
Câu 1
a) Cho hàm số $f\left( x \right)={{\left( {{x}^{3}}+6x-5 \right)}^{10}}$. Tính $f\left( x \right)$ với $x=\sqrt[3] {3+\sqrt{17}}+\sqrt[3] {3-\sqrt{17}}$
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=3xy+1$.
c) Chứng minh rằng ${{n}^{2}}+3n+5$ không chia hết cho 121, với mọi số tự nhiên $n$.
Câu 2
a) Giải phương trình: $\frac{\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}-14}{x}=3x-12$
b) Giải phương trình: $\frac{\sqrt{x+1}+3-11x}{\sqrt{6x-1}}=2+\sqrt{x+1}$
c) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& \sqrt{x+2}+\sqrt{y+1}=4 \\& 2\left( x+\frac{2}{x}-\frac{y+1}{{{x}^{2}}} \right)=y+1 \\\end{align} \right.$
Câu 3
a) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}}}$.
b) Với $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$Q=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.
Câu 4
Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $Ox$, $Oy$ của góc $xOy$ lần lượt tại $A$ và $B$. Từ điểm $A$ vẽ đường thẳng song song với $OB$ cắt đường tròn đã cho tại điểm thứ hai $C$. Tia $OC$ cắt đường tròn nói trên tại $E$ ($E$ khác $C$). Hai đường thẳng $AE$ và $OB$ cắt nhau tại $K$.
a) Chứng minh: $OK=KB$.
b) Chứng minh: $EB.CA=EA.CB$.
Câu 5
a) Cho đường tròn $\left( O \right)$ có bán kính $R$, với dây cung $BC$ cố định ($BC<2R$) và $A$ nằm trên cung lớn $BC$ ($A$ không trùng với $B,~C$ và điểm chính giữa của cung). Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ trên đường kính $AA$. Khi $A$ di chuyên chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ cố định.
b) Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Một đường thẳng qua $G$ cắt cạnh $AB,~AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi ${{S}_{AMN}},~{{S}_{ABC}}$ lần lượt là diện tích của các tam giác $AMN$ và $ABC$.
Chứng minh $\frac{4}{9}\le \frac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}<\frac{1}{2}$.
