Đề thi HSG Toán 9 Huyện Phú Hoà (Phú Yên) – Năm học 2020 – 2021

Đề thi HSG Toán 9 Huyện Phú Hoà (Phú Yên) – Năm học 2020 – 2021

Câu 1

Chứng minh  $A=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+………….+\frac{1}{2021\sqrt{2020}}<2$

Câu 2

a) Cho $A=\frac{1}{\sqrt{4{{x}^{2}}+4x+1}}$ và $B=\frac{2x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}}$.

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$sao cho $C=\frac{2A+B}{3}$là một số nguyên.

Câu 3

a) Giải phương trình: $\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right)\left( 2+2\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=8$

b) Cho $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$là hai giá trị của đại lượng $x$ và ${{y}_{1}}$, ${{y}_{2}}$ là hai giá trị của đại lượng $y$. Biết $5{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2$; ${{y}_{1}}=-3$; ${{y}_{2}}=18$, $\left| x-3 \right|={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$. Hãy tính $x$.

c) Cho $x,y,z$ là các số hữu tỉ, thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. Chứng minh: $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ là số hữu tỉ.

Câu 4

a) Cho các số thực $x,y$thoả mãn $x+y+4=0$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=2\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)+3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+10xy$.

b) Cho $a,b,c>1$. Chứng minh rằng $S=\frac{4{{a}^{2}}}{a-1}+\frac{5{{b}^{2}}}{b-1}+\frac{3{{c}^{2}}}{c-1}\ge 48$ .

Câu 5

Cho $\Delta \,ABC$ có đường phân giác $AD$. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AB,$ cắt $AC$ ở $E.$ Biết $AC\,=\,b,\,\,AB\,=\,c.$

a) Tính $AE$ theo $b$ và $c$, từ đó suy ra: $AD\,\,<\,\,\frac{2bc}{b+c}$.

b) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}={{120}^{\circ }}$ khi và chỉ khi $\frac{1}{AD}\,\,=\,\,\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$.

Câu 6

Cho $\Delta ABC$ , trên cạnh $BC$ lấy điểm $P$ sao cho $PC=2PB$ .Tính số đo $\widehat{ACB}$ biết $\widehat{ABC}={{45}^{0}},\widehat{APC}={{60}^{0}},\tan {{15}^{0}}=2-\sqrt{3}$