Đề thi HSG Toán 9 – Huyện Quảng Trạch – Năm học 2022 – 2023
Đề thi HSG Toán 9 – Huyện Quảng Trạch – Năm học 2022 – 2023
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức $P=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x y}+1}+\frac{\sqrt{x y}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x y}}+1\right):\left(1-\frac{\sqrt{x y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x y}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x y}+1}\right)$
a) Rút gọn biều thức $P$
b) Tinh giá tri của P tại $x=\sqrt[3]{4-2 \sqrt{6}}+\sqrt[3]{4+2 \sqrt{6}}$ và $y=x^2+6$
Câu 2. (2,0 dièm)
a) Giai phương trinh $x^2+3^y=101$ (với $x, y$ là sồ tư nhiên)
b) Giaii hệ phương trinh: $\left\{\begin{array}{l}x^3-2 x^2 y+2 x=y^3-2 x y^2+2 y \\ \sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}=y^2\end{array}\right.$
Câu 3. (1.5 đièm) Cho $x, y$ là các sồ thực dương thoà mãn $x+y \leq 1$. Chứng minh rằng:
$
8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{x y} \geq 5
$
Câu 4. (2,0 đièm) Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$ có đường cao $\mathrm{AH}(\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$ và $\mathrm{H} \in \mathrm{BC})$. Trèn tia $\mathrm{HC}$ lấy điềm $\mathrm{D}$ sao cho $\mathrm{HA}=\mathrm{HD}$. Qua $\mathrm{D}$ kẻ đường thẳng vuông góc với $\mathrm{BC}$ cắt $\mathrm{AC}$ tại E.
a) Chứng minh rằng $\triangle \mathrm{BEC}$ và $\triangle \mathrm{ADC}$ đồng dạng, từ đó suy ra số đo góc $\mathrm{AEB}$.
b) Gọi $\mathrm{M}$ là trung điểm của $\mathrm{BE}$. Tính số đo góc $\mathrm{AHM}$.
c) Tia $\mathrm{AM}$ cắt $\mathrm{BC}$ tại $G$. Chứng $\operatorname{minh} \frac{\mathrm{GB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{HD}}{\mathrm{AH}+\mathrm{HC}}$
Câu 5. (1,5 điềm). Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ nhọn $(\mathrm{AB}<\mathrm{AC})$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$, hai đường cao $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ cắt nhau tại $\mathrm{H}$. Tia $\mathrm{AO}$ cắt đường tròn $(\mathrm{O})$ tại $\mathrm{D}$.
a) Chứng minh các điểm $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ thuộc một đường tròn.
b) Gọi $\mathrm{M}$ là trung điềm của $\mathrm{BC}$, tia $\mathrm{AM}$ cắt $\mathrm{HO}$ tại $\mathrm{G}$. Chứng minh $\mathrm{G}$ là trọng tâm của tam giác $\mathrm{ABC}$.
Câu 6. (l,0 điềm). Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2 n+1$ và $3 n+1$ là các số chinh phương thì $5 n+3$ không phải là số nguyên tố.
