Đề thi HSG Toán 9 Huyện Quỳ Hợp (Nghệ An) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Quỳ Hợp (Nghệ An) – Năm học 2020 – 2021
Câu 1. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức
$A=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$
Cho biểu thức $P=\frac{2\sqrt{x}-4}{3\sqrt{x}-4}-\frac{4+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{x+13\sqrt{x}-20}{3x-10\sqrt{x}+8}$
Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $P$ có nghĩa.
Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (3,0 điểm). Giải các phương trình sau
$\sqrt{x-5}+\sqrt{y-2019}+\sqrt{z+2021}=\frac{1}{2}\left( x+y+z \right)$
$\sqrt{3{{x}^{2}}-12x+21}+\sqrt{5{{x}^{2}}-20x+24}=-2{{x}^{2}}+8x-3$
Câu 3: ( 6,0 điểm)
a) Xác định đa thức bậc bốn $f\left( x \right)$biết: $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( x \right)-f\left( x-1 \right)=x\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)$ với $x\in R$.
b) Tìm x, y nguyên dương $\left( x\ne y \right)$ thỏa mãn ${{x}^{3}}+7y={{y}^{3}}+7x$.
c) Cho các số dương $a,b,c$thỏamãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{{{a}^{2}}\left( b+c \right)}+\frac{1}{{{b}^{2}}\left( c+a \right)}+\frac{1}{{{c}^{2}}\left( a+b \right)}\ge \frac{3}{2}$
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$vuông tại $A$, $AH$vuông góc với $BC$, $AD$là đường phân giác. Gọi $HM,HN$là đường phân giác của tam giác $HAB,HAC$.
a) Chứng minh: $DM\parallel AC,AD=MN.$
b) Gọi $AP,AQ$là đường phân giác của tam giác $AHB,AHC$. Chứng minh rằng $P{{Q}^{2}}=2PB.CQ$
Cho tam giác đều $ABC$, đường cao $AH$. Lấy điểm $M$nằm giữa $B$và $C$, vẽ $MD$vuông góc với $AB$tại $D$, $ME$vuông góc với $AC$tại $E$. Tìm vị trí của điểm $M$trên $BC$để diện tích tam giác $MDE$lớn nhất.
Câu 5: ( 1,0 điểm)
Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá.
