Đề thi HSG Toán 9 Huyện Sơn Dương (Tuyên Quang) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Sơn Dương (Tuyên Quang) – Năm học 2020 – 2021
Câu 1. (5,0 điểm)
Cho biểu thức $A=\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}$ với $x>0;x\ne 1$
a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Chứng minh $A<\frac{2}{3}$
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x}$.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $\left( x-y \right)\left( 2x+y+1 \right)+9\left( y-1 \right)=13$.
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Cho $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7$; $a+b+c=23$; $\sqrt{abc}=3$.
Tính giá trị biểu thức: $A=\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}$.
b) Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=28$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12({{a}^{2}}+28)}+\sqrt{12({{b}^{2}}+28)}+\sqrt{{{c}^{2}}+28}}$
Câu 4. (5,5 điểm)
Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( O;R \right)$ sao cho $OM=2R$. Kẻ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ với đường tròn $\left( O;R \right)$ ($A$, $B$ là các tiếp điểm). Đoạn thẳng $MO$ cắt đường tròn $\left( O;R \right)$ tại $P$ và cắt $AB$ tại $H$. Tia $AO$ cắt đường tròn $\left( O;R \right)$ tại $D$ và cắt tia $MB$ tại $K$. Nối $PK$ cắt $BD$ tại $G$
a) Chứng minh: $MO\text{//}BD$.
b) Chứng minh: $OG\bot BD$.
c) Từ trung điểm $I$ của $AH$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AO$ cắt đường tròn $\left( O;R \right)$ tại $Q$ và $J$. Chứng minh $MO$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( A;AQ \right)$.
