Đề thi HSG Toán 9 Huyện Sơn Tịnh (Quảng Ngãi) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Sơn Tịnh (Quảng Ngãi) – Năm học 2020 – 2021
Câu 1
1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình ${{7}^{x}}+49y=644$
2) Biết $x+5\,$ và $x-84$ đều là số chính phương. Tìm số tự nhiên $x$
3) Chứng tỏ với mọi $x\in \mathbb{Z}$ thì ${{x}^{5}}-x$ chia hết cho 5.
Câu 2
a) Giải phương trình: $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}-\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=1$
b) Cho hai số$x$,$y$ khác 0 thỏa mãn$2{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=4$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=xy+2020$.
Câu 3
1) Cho $x,y,z$thoả mãn $\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right):\frac{1}{x+y+z}=1$.
Tính giá trị biểu thức $B=\left( {{x}^{29}}+{{y}^{29}} \right)\left( {{y}^{11}}+{{z}^{11}} \right)\left( {{z}^{2021}}+{{x}^{2021}} \right)$.
2) Biết ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+4\left( x+y \right)+4=0$và $x.y>0$. Chứng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le -2$.
Câu 4
Cho $\Delta \,ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$
a) Tính $BH,\,CH$ nếu $BC\,=\,25cm$ và $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$.
b) Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng:$A{{H}^{3}}\,\,=\,\,BC.BD.CE$
c) Cho $BC=2a.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $B{{D}^{2}}\,+\,C{{E}^{2}}$ theo $a.$
Câu 5
1. Cho tam giác $\Delta ABC$ có $AB=1,\,\widehat{A}={{105}^{0}},\,\widehat{B}={{60}^{0}}$ .Trên $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE=1$
Vẽ $DE//AB\left( D\in AC \right)$ .Chứng minh rằng $\frac{1}{A{{C}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{4}{3}$
Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng $2$, người ta lấy $5$ điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong $5$ điểm đó luôn tồn $2$ tại điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1.
