Đề thi HSG Toán 9 Huyện Sông Lô – Năm học 2020 – 2021

Đề thi HSG Toán 9 Huyện Sông Lô – Năm học 2020 – 2021

Câu 1 (3 điểm)

Cho biểu thức $P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}$ với $x>0,x\ne 1$.

Rút gọn $P$ và tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.

 

Câu 2 (2 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phân số $\frac{10{{n}^{2}}+9n+4}{20{{n}^{2}}+20n+9}$ tối giản.

Câu 3 (2 điểm)

Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình: $\left( m+1 \right)x+\left( m-2 \right)y=3$ ($m$ là tham số).

Tìm giá trị của $m$ biết đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( -1;-2 \right)$.

Tìm m để $\left( d \right)$ cắt hai trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng $\frac{9}{2}$.

Câu 4 (2 điểm)

Giải phương trình:$\frac{6}{{{x}^{2}}+2}+\frac{12}{{{x}^{2}}+8}=3-\frac{7}{{{x}^{2}}+3}$.

Câu 5 (2 điểm)

Cho ${{a}^{2}}\left( b+c \right)={{b}^{2}}\left( c+a \right)=2020$ với $a$, $b$ , $c$ đôi một khác nhau và khác không. Tính giá trị biểu thức ${{c}^{2}}\left( a+b \right).$

Câu 6 (2 điểm)

Chứng minh rằng trong $5$ số nguyên dương đôi một phân biệt, luôn tồn tại bốn số có tổng là hợp số.

Câu 7 (2 điểm)

Cho tam giác $ABC$cân tại $A$. $M,D$ tương ứng là trung điểm của $BC,AM$. $H$ là hình chiếu của $M$ trên $CD$. $AH$ cắt $BC$ tại $N,\ BH$ cắt $AM$ tại $E$. Chứng minh rằng $E$ là trực tâm của tam giác$ABN$.

Câu 8 (3 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $BD$, $CE$ cắt nhau tại $H$. Trên các đoạn $HB$, $HC$ lần lượt lấy các điểm $F$ và $I$ sao cho $\widehat{AFC}=\widehat{AIB}=90{}^\circ $.

Read:   File Word đề thi vào 10 Bà Rịa - Vũng Tàu Môn Toán – Năm học 2023 – 2024

Chứng minh rằng $AD.AC=AE.AB$ và tam giác $AFI$ cân.

Các đường phân giác của $\widehat{A},\ \widehat{B},\,\widehat{C}$ của tam giác $ABC$ lần lượt cắt $BC$, $CA,\ AB$ lần lượt tại $M$,$N,\ P$. Biết $BC=a$; $CA=b$; $AB=c$. Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}$.

Câu 9 (2 điểm)

Cho ba số thực $a,\ b,\ c$ dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{\left( b+c \right)}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}+{{\left( c+a \right)}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{3}}+{{\left( a+b \right)}^{3}}}}\ge 1$.

Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *