Đề thi HSG Toán 9 – Huyện Tây Hòa – Năm học 2022 – 2023

Bài 1: (4,5 điểm)

Cho biểu thức:
$
A=\frac{3 x+\sqrt{9 x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+2}{1-\sqrt{x}}
$
a) Tìm điều kiện của $\mathrm{x}$ để $\mathrm{A}$ có nghĩa;
b) Rút gọn biểu thức $\mathrm{A}$;
c) Tìm các giá trị nguyên của $\mathrm{x}$ để giá trị của $\mathrm{A}$ là một số nguyên.

Bài 2: (4,0 điểm)
a) Cho ba số tự nhiên $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$. Biết rằng $7 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}-5 \mathrm{c}$ chia hết cho 11 . Chứng minh rằng $3 a-7 b+12 c$ cũng chia hết cho 11 .
b) Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ và $\mathrm{p}$ là nửa chu vi. Chứng minh rằng $\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b} \geq \frac{4}{c}$

Bài 3: (4,0 điểm)
Cho $x$, $y$ là hai số dương thỏa mãn : $x^2+y^2=4$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $B=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2$

Bài 4: (4,5 điểm)
Cho hình vuông $\mathrm{ABCD}$. $\mathrm{M}$ là một điểm tuỳ ý trên đường chéo $\mathrm{BD}$. $\mathrm{Kè} \mathrm{ME} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{MF} \perp \mathrm{AD}$.
a) Chứng minh: $\mathrm{DE}=\mathrm{CF}$ và $\mathrm{DE} \perp \mathrm{CF}$;
b) Chứng minh ba đường thẳng $\mathrm{DE}, \mathrm{BF}$ và $\mathrm{CM}$ đồng quy;
c) Xác định vị trí điểm $\mathrm{M}$ trên $\mathrm{BD}$ để diện tích tứ giác $\mathrm{AEMF}$ lớn nhất.

Bài 5: (3,0 điểm)
Gọi $\mathrm{I}$ là điểm nằm trong $\triangle \mathrm{ABC}$, các đường thẳng $\mathrm{AI}, \mathrm{BI}, \mathrm{CI}$ lần lượt cắt $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ tại $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}, \mathrm{P}$
Chứng minh rằng: $\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{IM}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NC}}+\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}$

Tải về file Word