Đề thi HSG Toán 9 Huyện Thanh Oai – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Thanh Oai – Năm học 2020 – 2021
Câu 1 (4,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=a+2b+3c=14$.
Tính giá trị của biểu thức M = abc
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n:
$\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{4}}+…+\frac{1}{2n\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>1$
Câu 2 (4,0 điểm)
Giải phương trình: $\sqrt{x(3x+1)}-\sqrt{x(x-1)}=2\left| x \right|$
Tìm số nguyên $x,y$thỏa mãn: ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}$
Câu 3 (4,0 điểm).
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19.
Với a, b, c > 0 thỏa mãn a+ b+ c = abc – 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{1}{a+1}}+\sqrt{\frac{1}{b+1}}+\sqrt{\frac{1}{c+1}}$
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O, R). Đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O). Trên đường tròn lấy E (E khác A, B). Đường thẳng vuông góc với OE tại E cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Hạ EF vuông góc với AB tại F, BC cắt EF tại I.
a) Chứng minh I là trung điểm của EF
b) Gọi EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N và K là trung điểm của AC. Chứng minh K, M, I, N thẳng hàng
c) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD. Chứng minh $\frac{1}{3}<\frac{r}{R}<\frac{1}{2}$
Câu 5 (2,0 diểm)
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc}\ge \sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}$
