Đề thi HSG Toán 9 Quận Ba Đình – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Quận Ba Đình – Năm học 2020 – 2021
Câu 1 (3 điểm)
a) Cho các số thực dương $a,\text{ }b,\text{ }c$thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$
Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}}$.
b) Cho số tự nhiên $n$thỏa mãn: $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.
Chứng minh rằng: $n$chia hết cho 40.
Câu 2 (6 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2{{x}^{2}}+5x+3}-16$
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$thỏa mãn phương trình:
$\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)+2\left( x-y \right)\left( 1-xy \right)=4\left( 1+xy \right)$
c) Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):y=-x+1;\left( {{d}_{2}} \right):y=x-1$. Tìm giá trị của a sao cho các đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right),\left( {{d}_{2}} \right)$và $\left( {{d}_{3}} \right)$cắt nhau tại một điểm. Biết rằng: $\left( {{d}_{3}} \right):y=-ax+{{a}^{3}}-{{a}^{2}}-\frac{1}{3}$
Câu 3 (4 điểm)
Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương
a) Biết $a\ge 19;b\ge 12;c\ge 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
b) Biết $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{{{\left( ab+a+1 \right)}^{2}}}+\frac{b}{{{\left( bc+b+1 \right)}^{2}}}+\frac{c}{{{\left( ca+c+1 \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{a+b+c}$.
Câu 4 (4 điểm)
Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài bằng 1. Gọi $D$là điểm bất kì trên cạnh $BC$($D$không trùng với $B$và $C$). Gọi ${{r}_{1}};{{r}_{2}}$lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$và $ACD$.
a) Đặt $BD=x$ (điều kiện $0<x<1$). Tính ${{r}_{1}};{{r}_{2}}$theo $x$.
b) Xác định vị trí điểm $D$trên cạnh $BC$để tích ${{r}_{1}}.{{r}_{2}}$ lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Câu 5 (3 điểm)
a) Không dùng bảng số hoặc máy tính, chứng minh rằng: $\sin 75{}^\circ =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
b) Cho hai điểm $A;B$không thuộc đường thẳng $xy$và nằm cùng phía với đường thẳng $xy$.
Xác định điểm $M$ thuộc đường thẳng $xy$sao cho $\widehat{AMx}=2\widehat{BMy}$.
c) Cho $n$điểm phân biệt trên một mặt phẳng, sao cho cứ ba điểm bất kì trong các điểm đó là
các đỉnh của một tam giác vuông. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $n$.
