Đề thi HSG Toán 9 Thành phố Từ Sơn (Bắc Ninh) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Thị xã Từ Sơn – Năm học 2020 – 2021
Câu 1 (4 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) ${{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+23x+15$ b) $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24$
Cho $x,y,z$thỏa mãn: $9{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}-18x+4z-6y+20=0$
Tính giá trị của biểu thức: $P={{\left( x-1 \right)}^{2020}}+{{\left( y-3 \right)}^{2021}}+{{z}^{2019}}$
Câu 2 (4 điểm)
Tìm x biết: ${{\left( \frac{1}{4}x+3 \right)}^{3}}+{{\left( \frac{3}{4}x-4 \right)}^{3}}={{\left( x-1 \right)}^{3}}$
Tìm tất cả các số nguyên $n$ để ${{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}+n+7$ là số chính phương.
Cho các số $a,b,c,d$nguyên thỏa mãn ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=2\left( {{c}^{3}}-8{{d}^{3}} \right)$
Chứng minh rằng: $\left( a+b+c+d \right)\vdots 3$
Câu 3 (4 điểm)
Tìm cặp số $\left( x,y \right)$ nguyên thỏa mãn ${{x}^{2}}+x+3={{y}^{2}}$.
Tìm đa thức $f\left( x \right)$ biết $f\left( x \right)$ chia cho $\left( x-2 \right)$ dư $5$, $f\left( x \right)$ chia cho $\left( x-3 \right)$ dư $7$, $f\left( x \right)$ chia cho $\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$ được thương là ${{x}^{2}}-1$ và còn dư.
Câu 4 (6 điểm)
Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A\left( AB<AC \right),$đường cao $AH$. Lấy điểm $K$ trên $HC$ sao cho $AH=AK$. Từ $K$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$, từ $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AH$, chúng cắt nhau tại $E$.
Chứng minh rằng tứ giác $AHKE$ là hình vuông.
Gọi $P$ là giao điểm của $KE$ và $AC$. Chứng minh rằng $AB=AP$ .
Qua $P$ vẽ đường thẳng song song với $AB$, qua $B$ vẽ đường thẳng song song với $AC$, chúng cắt nhau tại $Q$. Gọi $I$ là giao điểm của $PB$ và $AQ$. Chứng minh $I,H,E$ thẳng hàng.
Tính góc $AKQ$ ?
Câu 5 (2 điểm)
Cho x,y thỏa mãn $\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+3 \right)=3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-2x-6y+2020$.
Có tồn tại hay không số có dạng $202020202020\ldots $ chia hết cho 2021?
