Đề thi HSG Toán 9 THCS Phú Thái – Năm học 2022 – 2023

Đề thi HSG Toán 9 THCS Phú Thái – Năm học 2022 – 2023

Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức $P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}$, với x>0;x khác 1. Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
b) Tính giá trị của biểu thức$P=\frac{4\left( x+1 \right){{x}^{2022}}-2{{x}^{2021}}+2x+1}{2{{x}^{2}}+3x}$ tại $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$.
Bài 2. ( 2,0 điểm)
a) Giải phương trình: ${{x}^{2}}-3x+1+\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=0$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2} \\
& 3xy=x+y+1 \\
\end{align} \right.$
Bài 3. ( 2,0 điểm)
a) Cho $a$, $b$ là các số nguyên thoả mãn $2{{a}^{2}}+3ab+2{{b}^{2}}$ chia hết cho 7. Chứng minh rằng: ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ chia hết cho 7.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+6xy-20x-20y+24=0$.
Bài 4. ( 3,0 điểm) Cho đường tròn$\left( O;R \right)$ đường kính$BC$, $A$là điểm chuyển động trên đường tròn$\left( O;R \right)$.$H$là hình chiếu vuông góc của điểm$A$ trên $BC$. Gọi $\left( Q;r \right)$; $\left( I;{{r}_{1}} \right)$; $\left( K;{{r}_{2}} \right)$là các đường tròn nội tiếp tam giác$ABC$, tam giác$AHB$, tam giác$AHC$. Đường thẳng$KI$ cắt$AB$ và$AC$ lần lượt tại $M$và$N$.
a) Chứng minh rằng tam giác$AMN$ vuông cân.
b) Tính$r+{{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ theo $R$ trong trường hợp$H$ là trung điểm của $OB$.
c) Gọi$E$ là giao điểm$AI$ và$BC$, $F$ là giao điểm của$AK$ và$BC$. Xác định vị trí của $A$để diện tích tam giác$AEF$ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5. ( 1,0 điểm) Cho các số thực $a$, $b$, $c$ thoả mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{a+b}{{{\left( a+b \right)}^{3}}+abc}}+\sqrt{\frac{b+c}{{{\left( b+c \right)}^{3}}+abc}}+\sqrt{\frac{c+a}{{{\left( c+a \right)}^{3}}+abc}}$

Hướng dẫn giải Đề thi HSG Toán 9 THCS Phú Thái – Năm học 2022 – 2023

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức $P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}$, với $x>0;x\ne 1$. Rút gọn $P$ và tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.

b) Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{4\left( x+1 \right){{x}^{2022}}-2{{x}^{2021}}+2x+1}{2{{x}^{2}}+3x}$ tại $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$.

Lời giải

$P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}$ Điều kiện: $x>0;x\ne 1$

$P=\frac{x-2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}$

$P=\frac{\left( x-2\sqrt{x} \right)\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}+\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}$

$P=\frac{x\sqrt{x}-2x+x-1+1+2x-2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}$

$P=\frac{x\sqrt{x}+x-2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}$

$P=\frac{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}-2 \right)}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}$

$P=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{x\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}$

$P=\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}$

Ta có: $x>0;x\ne 1\Rightarrow \sqrt{x}+2>0;x+\sqrt{x}+1>0$$\Rightarrow P>0$$\left( 1 \right)$

Ta có:

$\frac{1}{P}=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)-\left( \sqrt{x}+2 \right)+3}{\sqrt{x}+2}=\left( \sqrt{x}-1 \right)+\frac{3}{\sqrt{x}+2}=\left( \sqrt{x}+2 \right)+\frac{3}{\sqrt{x}+2}-3$

$\Rightarrow \frac{1}{P}\ge 2\sqrt{3}-3$

$\Rightarrow P\le \frac{1}{2\sqrt{3}-3}=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $0<P\le \frac{2\sqrt{3}+3}{3}$, mà P nguyên nên $P\in \left\{ 1;2 \right\}$

Trường hợp 1: $P=1\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}=1$$\Rightarrow x+\sqrt{x}+1=\sqrt{x}+2$$\Leftrightarrow x=1$ ( Loại)

Trường hợp 2: $P=2\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}=2$$\Rightarrow 2x+2\sqrt{x}+2=\sqrt{x}+2$$\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( 2\sqrt{x}+1 \right)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0\left( L \right) \\& \sqrt{x}=\frac{-1}{2}\left( L \right) \\\end{align} \right.$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $P$ đạt giá trị nguyên.

Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{4\left( x+1 \right){{x}^{2022}}-2{{x}^{2021}}+2x+1}{2{{x}^{2}}+3x}$ tại $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$.

$x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1-3\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2.\left( \sqrt{3}+1 \right)\left( \sqrt{3}-1 \right)}}=\sqrt{\frac{-2\sqrt{3}+4}{4}}=\sqrt{\frac{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Ta xét biểu thức: $2{{x}^{2}}+2x-1=2{{\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)}^{2}}+2.\frac{\sqrt{3}-1}{2}-1=2\frac{\left( 4-2\sqrt{3} \right)}{4}+\frac{2\sqrt{3}-2}{2}-1$

$2{{x}^{2}}+2x-1=\frac{8-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4-4}{2}$

$2{{x}^{2}}+2x-1=0$

Ta có: $P=\frac{4\left( x+1 \right){{x}^{2022}}-2{{x}^{2021}}+2x+1}{2{{x}^{2}}+3x}$

$P=\frac{2{{x}^{2021}}\left[ 2\left( x+1 \right)x-1 \right] +\left( 2x+1 \right)}{\left( 2{{x}^{2}}+2x-1 \right)+x+1}$

Read:   Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Ninh Bình

$P=\frac{2{{x}^{2021}}.0+2x+1}{0+x+1}$

$P=\frac{2x+1}{x+1}=\left( 2.\frac{\sqrt{3}-1}{2}+1 \right):\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2}+1 \right)$

$P=\sqrt{3}:\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\sqrt{3}\left( \sqrt{3}-1 \right)}{2}=3-\sqrt{3}$

Vậy $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$ thì $P=3-\sqrt{3}$

 

Câu 2 ( 2,0 điểm)

a) Giải phương trình: ${{x}^{2}}-3x+1+\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=0$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2} \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

Lời giải

${{x}^{2}}-3x+1+\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)}^{2}}=\frac{1}{3}\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)$

$\Leftrightarrow {{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+1-6{{x}^{3}}-6x+2{{x}^{2}}=\frac{1}{3}{{x}^{4}}+\frac{1}{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}+27{{x}^{2}}+3-18{{x}^{3}}-18x+6{{x}^{2}}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}-18{{x}^{3}}+32{{x}^{2}}-18x+2=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{4}}-9{{x}^{3}}+16{{x}^{2}}-9x+1=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)-\left( 7{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+7x \right)+\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-7x+\frac{49}{4}-\frac{45}{4} \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow \left[ {{\left( x-\frac{7}{2} \right)}^{2}}-\frac{45}{4} \right] {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow \left( x-\frac{7}{2}-\frac{3\sqrt{5}}{2} \right)\left( x-\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2} \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{7+3\sqrt{5}}{2} \\& x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2} \\& x=1 \\\end{align} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{ 1;\frac{7+3\sqrt{5}}{2};\frac{7-3\sqrt{5}}{2} \right\}$

$\left\{ \begin{align}& \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2} \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$ Điều kiện: $x\ne -1,y\ne -1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} \right)}^{2}}-2.\frac{xy}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}=\frac{1}{2} \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} \right)}^{2}}-2.\frac{xy}{x+y+1+xy}=\frac{1}{2} \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} \right)}^{2}}-2.\frac{xy}{4xy}=\frac{1}{2} \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} \right)}^{2}}=1 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
{x \over {y + 1}} + {y \over {x + 1}} = 1 \hfill \cr
{x \over {y + 1}} + {y \over {x + 1}} = – 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
3xy = x + y + 1 \hfill \cr} \right.$

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{align}& \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=1 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+x+{{y}^{2}}+y=xy+x+y+1 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=x+y+2-2xy \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( x+y \right)-2=0 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left( x+y+1 \right)\left( x+y-2 \right)=0 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x + y = – 1 \hfill \cr
x + y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
3xy = x + y + 1 \hfill \cr} \right.$

Nếu $x+y=-1$ thì $3xy=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& y=0 \\\end{align} \right.$

Với $x=0\Rightarrow y=-1$ ( Loại)

Với $y=0\Rightarrow y=-1$ ( Loại)

Nếu $x+y=2$ thì $3xy=3\Leftrightarrow xy=1$$\left( 1 \right)$

Ta có: $x=2-y$ nên từ $\left( 1 \right)$ suy ra $\left( 2-y \right)y=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y+1=0\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=1$ ( Thảo mãn)

$\Rightarrow x=1$ ( thoả mãn)

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{align}& \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=-1 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+x+{{y}^{2}}+y=-xy-x-y-1 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=-xy-2\left( x+y \right)-1 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3{{\left( x+y \right)}^{2}}+5\left( x+y \right)+2=0 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left( x+y+1 \right)\left[ 3\left( x+y \right)+2 \right] =0 \\& 3xy=x+y+1 \\\end{align} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x + y = – 1 \hfill \cr
x + y = {{ – 2} \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
3xy = x + y + 1 \hfill \cr} \right.$

Nếu $x+y=-1$ thì $3xy=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& y=0 \\\end{align} \right.$

Với $x=0\Rightarrow y=-1$ ( Loại)

Với $y=0\Rightarrow y=-1$ ( Loại)

Nếu $x+y=\frac{-2}{3}$ thì $3xy=\frac{1}{3}\Leftrightarrow xy=\frac{1}{9}$

Ta có: $\left( \frac{-2}{3}-y \right).y=\frac{1}{9}\Leftrightarrow 9{{y}^{2}}+6y+1=0\Leftrightarrow {{\left( 3y+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=\frac{-1}{3}$ ( Thoả mãn)

$\Rightarrow x=\frac{-1}{3}$ ( Thoả mãn)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm duy nhất $\left( x,y \right)=\left( 1;1 \right)$ và $\left( x,y \right)=\left( \frac{-1}{3};\frac{-1}{3} \right)$

Câu 3 ( 2,0 điểm)

a) Cho $a$, $b$ là các số nguyên thoả mãn $2{{a}^{2}}+3ab+2{{b}^{2}}$ chia hết cho 7. Chứng minh rằng: ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ chia hết cho 7.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+6xy-20x-20y+24=0$.

Lời giải

a) Cho $a$, $b$ là các số nguyên thoả mãn $2{{a}^{2}}+3ab+2{{b}^{2}}$ chia hết cho 7. Chứng minh rằng: ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ chia hết cho 7.

Read:   Đề thi HSG Toán 9 Cụm chuyên môn số 4 - Năm học 2020 - 2021

Vì $2{{a}^{2}}+3ab+2{{b}^{2}}$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow 2{{a}^{2}}-4ab+2{{b}^{2}}+7ab$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow 2{{a}^{2}}-4ab+2{{b}^{2}}$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow 2.{{\left( a-b \right)}^{2}}$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow \left( a-b \right)$ chia hết cho $7$ ( Vì 7 là số nguyên tố)

$\Rightarrow \left( a-b \right)\left( a+b \right)$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ chia hết cho $7$

Vậy ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ chia hết cho 7.

b) $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+6xy-20x-20y+24=0$

$\Leftrightarrow 25{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}+30xy-100x-100y+120=0$

$\Leftrightarrow \left( 25{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}+100+30xy-60y-100x \right)+\left( 16{{y}^{2}}-40y+25 \right)-5=0$

$\Leftrightarrow {{\left( 5x+3y-10 \right)}^{2}}+{{\left( 4y-5 \right)}^{2}}=5$

$ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{\left( {5x + 3y – 10} \right)^2} = 4 \hfill \cr
{\left( {4y – 5} \right)^2} = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
{\left( {5x + 3y – 10} \right)^2} = 1 \hfill \cr
{\left( {4y – 5} \right)^2} = 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{align}& {{\left( 5x+3y-10 \right)}^{2}}=4\ \left( 1 \right) \\& {{\left( 4y-5 \right)}^{2}}=1\ \left( 2 \right) \\\end{align} \right.$

Từ $\left( 2 \right)$ suy ra $y=\frac{3}{2}$( không thoả mãn y là số nguyên) hoặc $y=1$( thoả mãn)

Với $y=1$ và từ $\left( 1 \right)$ suy ra $x=\frac{9}{5}$( không thoả mãn x là số nguyên)  hoặc $x=1$ ( thoả mãn)

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{align}& {{\left( 5x+3y-10 \right)}^{2}}=1\ \left( 3 \right) \\& {{\left( 4y-5 \right)}^{2}}=4\ \left( 4 \right) \\\end{align} \right.$

Từ $\left( 4 \right)$ suy ra $y=\frac{7}{4}$ hoặc $y=\frac{3}{4}$ đều không thoả mãn y là số nguyên

Vậy nghiệm của phương trình là $\left( x,y \right)=\left( 1;1 \right)$

Câu 4 ( 3,0 điểm) Cho đường tròn $\left( O;R \right)$ đường kính $BC$, $A$ là điểm chuyển động trên đường tròn $\left( O;R \right)$. $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $BC$. Gọi $\left( Q;r \right)$; $\left( I;{{r}_{1}} \right)$; $\left( K;{{r}_{2}} \right)$ là các đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, tam giác $AHB$, tam giác $AHC$. Đường thẳng $KI$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$.

a) Chứng minh rằng tam giác $AMN$ vuông cân.

b) Tính $r+{{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ theo $R$ trong trường hợp $H$ là trung điểm của $OB$.

c) Gọi $E$ là giao điểm $AI$ và $BC$, $F$ là giao điểm của $AK$ và $BC$. Xác định vị trí của $A$ để diện tích tam giác $AEF$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\left( I;{{r}_{1}} \right)$; $\left( K;{{r}_{2}} \right)$, tiếp tuyến này cắt $AB$; $AC$ lần lượt tại $U$ và $V$

Vì là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác $AHB$, tam giác $AHC$ nên $\widehat{IHK}=90{}^\circ $

$\widehat{ISK}=\widehat{ISH}+\widehat{KSH}=\frac{1}{2}\widehat{USH}+\frac{1}{2}\widehat{VSH}=\frac{1}{2}.180{}^\circ =90{}^\circ $

$\widehat{ISK}=90{}^\circ $

Xét tứ giác $ISKD$ có:

$\widehat{ISK}+\widehat{IHK}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

Nên tứ giác $ISKD$ là tứ giác nội tiếp

$P$ và $Q$ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác đồng dạng $AHB$ và $CHA$ nên $\frac{AB}{AC}=\frac{IH}{HK}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HIK$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{IHK}=90{}^\circ $

$\frac{AB}{AC}=\frac{IH}{HK}$( chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HIK\left( \text{C-G-C} \right)$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{IHK}$ ( Hai góc tương ứng)

Ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ ( cùng phụ với $\widehat{HAC}$); $\widehat{ACH}=\widehat{IKH}$( chứng minh trên); $\widehat{IKH}=\widehat{ISH}$ ( do tứ giác $ISKD$ là tứ giác nội tiếp)

Read:   Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Bình Định

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{ISH}$

$\Rightarrow AB\text{//}IS$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{SIK}=\widehat{SHK}=45{}^\circ $

Xét $\Delta AMN$ vuông tại $A$ có: $\widehat{AMN}=45{}^\circ $

Suy ra $\Delta AMN$ vuông cân tại $A$.

Tính $r+{{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ theo $R$ trong trường hợp $H$ là trung điểm của $OB$.

* Ta chứng minh: $r+{{r}_{1}}+{{r}_{2}}=AH$

Gọi $D,T,P$lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn$\left( Q;r \right)$ với các cạnh $$$AB,AC,BC$

$\Rightarrow QD=QT=QP=r$, $QD\bot AB$ tại $D$, $QT\bot AC$ tại $T$, $QP\bot BC$ tại $P$

Ta chứng minh được $ADQT$ là hình chữ nhật $\left( \widehat{DAT}=\widehat{ATQ}=\widehat{ADQ}=90{}^\circ  \right)$, mà $QD=QT$

Nên tứ giác $ADQT$ là hình vuông

$\Rightarrow AD=AT=r$

Ta chứng minh được: $BD=BP$, $CP=CT$

Ta có: $AB+AC-BC=AD+DB+AT+CT-BP-CP=r+BD+r+CT-BD-CT=2r$$\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có: $BH+AH-AB=2{{r}_{1}}$$\left( 2 \right)$

Và $AH+CH-AC=2{{r}_{2}}$$\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$$\Rightarrow 2AH=2r+2{{r}_{1}}+2{{r}_{2}}$$\Rightarrow r+{{r}_{1}}+{{r}_{2}}=AH$

* Xét $\Delta ABO$ có: $AH\bot BO$,$H$ là trung điểm của $OB$.

Nên $\Delta ABO$ cân tại A  $\Rightarrow AB=AO$

Mà $AO=OB$$\Rightarrow AB=AO=BO$$\Rightarrow \Delta ABO$ đều

$\Rightarrow AH=AO.\sin \widehat{AOB}=R.\frac{3}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Vậy $r+{{r}_{1}}+{{r}_{2}}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$  trong trường hợp $H$ là trung điểm của $OB$.

Ta có: $\widehat{EAC}=\widehat{EAH}+\widehat{HAC}=\widehat{EAB}+\widehat{ABE}=\widehat{AEC}$$\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{AEC}$

$\Rightarrow \Delta ACE$ cân tại $C$$\Rightarrow AC=CE=CF+EF$$\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có: $\Delta ABF$ cân tại $B$$\Rightarrow AB=BF=BE+EF$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$; $\left( 2 \right)$$\Rightarrow AB+AC=\left( BE+EF+CF \right)+EF=BC+EF$

$\Rightarrow EF=AB+AC-BC$

Ta có: ${{S}_{AEF}}=\frac{1}{2}AH.EF=\frac{1}{2}.\frac{AB.AC\left( AB+AC-BC \right)}{BC}$

$\Rightarrow S\le \frac{\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right).\left( AB+AC-BC \right)}{2.2BC}=\frac{B{{C}^{2}}.\left( AB+AC-BC \right)}{4BC}=\frac{BC.\left( AB+AC-BC \right)}{4}$

$=\frac{\left( AB+AC \right).BC-B{{C}^{2}}}{4}$

Ta lại có: $AB+AC\le \sqrt{2.\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)}=\sqrt{2.B{{C}^{2}}}=BC\sqrt{2}$

$\Rightarrow S\le \frac{BC\sqrt{2}.BC-B{{C}^{2}}}{4}=\frac{4{{R}^{2}}\sqrt{2}-4{{R}^{2}}}{4}={{R}^{2}}\left( \sqrt{2}-1 \right)$ ( vì $BC=2R$)

Dấu $=$ xảy ra khi $AB=AC$ nên $A$ nằm ở chính giữa cung $BC$

Câu 5 ( 1,0 điểm) Cho các số thực $a$, $b$, $c$ thoả mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{\frac{a+b}{{{\left( a+b \right)}^{3}}+abc}}+\sqrt{\frac{b+c}{{{\left( b+c \right)}^{3}}+abc}}+\sqrt{\frac{c+a}{{{\left( c+a \right)}^{3}}+abc}}$

Lời giải

$\sqrt{\frac{a+b}{{{\left( a+b \right)}^{3}}+abc}}=\frac{1}{\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+\frac{abc}{a+b}}}\ge \frac{1}{\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+\frac{c{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4\left( a+b \right)}}}\ge \frac{2}{\sqrt{4{{\left( a+b \right)}^{2}}+c\left( a+b \right)}}$

$=\frac{24}{2\sqrt{36\left[ 4{{\left( a+b \right)}^{2}}+ac+bc \right] }}\ge \frac{24}{36+4{{\left( a+b \right)}^{2}}+ac+bc}$$\left( 1 \right)$$\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có:

$\sqrt{\frac{b+c}{{{\left( b+c \right)}^{2}}+abc}}\ge \frac{24}{36+4{{\left( b+c \right)}^{2}}+ab+ac}$$\left( 2 \right)$

$\sqrt{\frac{c+a}{{{\left( a+c \right)}^{2}}+abc}}\ge \frac{24}{36+{{\left( a+c \right)}^{2}}+ab+bc}$$\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ ta có:

$\Rightarrow P\ge 24.\left( \frac{1}{36+4{{\left( a+b \right)}^{2}}+ac+bc}+\frac{1}{36+4{{\left( b+c \right)}^{2}}+ab+ac}+\frac{1}{36+4{{\left( a+c \right)}^{2}}+ab+bc} \right)$

$\Rightarrow P\ge 24.\frac{{{\left( 1+1+1 \right)}^{2}}}{3.36+4{{\left( a+b \right)}^{2}}+4{{\left( b+c \right)}^{2}}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)}$

$\Leftrightarrow P\ge \frac{24.9}{3.36+8\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+10\left( ab+bc+ca \right)}\ge \frac{24.9}{3.36+8.6+10.6}=1$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& a>0;b>0;c>0 \\& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=6 \\& a=b \\& b=c \\& c=a \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi $a=b=c=\sqrt{2}$.

Cách 2:

Ta có:

$\sqrt{\frac{a+b}{{{\left( a+b \right)}^{3}}+abc}}=\frac{1}{\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+\frac{abc}{a+b}}}\ge \frac{1}{\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+\frac{c{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4\left( a+b \right)}}}\ge \frac{2}{\sqrt{4{{\left( a+b \right)}^{2}}+c\left( a+b \right)}}$

$\ge \frac{2.2}{\sqrt{16{{\left( a+b \right)}^{2}}+4c\left( a+b \right)}}\ge \frac{4}{\sqrt{16{{\left( a+b \right)}^{2}}+4{{c}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}}}=\frac{4}{\sqrt{17{{\left( a+b \right)}^{2}}+4{{c}^{2}}}}$

$\ge \frac{4}{\sqrt{17.2.\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4{{c}^{2}}}}=\frac{4}{\sqrt{34{{a}^{2}}+34{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}}\ge \frac{2.4.12}{144+34{{a}^{2}}+34{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}=\frac{96}{144+34{{a}^{2}}+34{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}$$\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có:

$\sqrt{\frac{b+c}{{{\left( b+c \right)}^{3}}+abc}}\ge \frac{2.4.12}{144+34{{b}^{2}}+34{{c}^{2}}+4{{c}^{2}}}=\frac{96}{144+34{{a}^{2}}+34{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}$$\left( 2 \right)$

$\sqrt{\frac{c+a}{{{\left( c+a \right)}^{2}}+abc}}\ge \frac{2.4.12}{144+34{{c}^{2}}+34{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}=\frac{96}{144+34{{c}^{2}}+34{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}$$\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$

$\Rightarrow P\ge 96.\left( \frac{1}{144+34{{a}^{2}}+34{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}+\frac{1}{144+34{{a}^{2}}+34{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}+\frac{1}{144+34{{c}^{2}}+34{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}} \right)$

$\Leftrightarrow P\ge 96.\frac{9}{3.144+72\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}\ge \frac{864}{3.144+72.6}=1$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& a>0;b>0;c>0 \\& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=6 \\& a=b \\& b=c \\& c=a \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi $a=b=c=\sqrt{2}$.

Bạn nào cần file Word comment mình tặng

 

 

Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *