Đề thi HSG Toán 9 Tỉnh Thanh Hoá – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Tỉnh Thanh Hoá – Năm học 2020 – 2021
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Rút gọn biều thức: $P=\left(1-\frac{x-3 \sqrt{x}}{x-9}\right):\left(\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-2}{3+\sqrt{x}}-\frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}\right),$ với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$
b) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $a^{3}+1=3 a, b^{3}+1=3 b, c^{3}+1=3 c$.
Tính giá trị của biều thức $Q=a^{2}+b^{2}+c^{2}$.
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: $15\left(x^{3}+x^{2}+2 x\right)=4 \sqrt{5}\left(x^{2}+2\right) \sqrt{x^{4}+4}$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+x y+y^{2}-4 y+1=0 \\ \left(x^{2}+1\right)(x+y-2)=y\end{array}\right.$
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình $2^{x} x^{2}=9 y^{2}-12 y+19$.
b) Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+58$ chia hết cho xy. Chứng minh rằng $\frac{x^{2}+y^{2}+58}{x y}$ chia hết cho 12
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn $(I ; r)$ có bán kính $IE,\text{ }IF$vuông góc với nhau. Kè hai tiếp tuyến với đường tròn $(I)$ tại $E$ và F, cắt nhau tại A . Trên tia đối của tia $EA$ lấy điểm $B$ sao cho $E B>r,$ qua $B$ kẻ tiếp tuyến thứ hai cùa đường tròn $(I), D$ là tiếp điểm, BD cắt AF tại $C$. Gọi $K$ là giao điểm của AI và FD.
a) Chứng minh rằng hai tam giác $IAB$và $FAK$ đồng dạng.
b) Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P . Gọi $M$ là trung điểm AB, M I cắt AC tại $Q$. Chứng minh rằng tam giác APQ là tam giác cân.
c) Xác định vị trí của điểm $B$ đề chu vi tam giác AMQ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo $r$.
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x y z=2(x y+y z+z x)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=x(1-y)(1-z)$
