Đề thi HSG Toán 9 TP Hạ Long – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 TP Hạ Long – Năm học 2020 – 2021
Câu 1
Cho biểu thức $P=\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}$ với $x\ne 1$ và $x>0$.
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tính giá trị của biểu thức $P$ biết $x=\sqrt[3] {2+\sqrt{5}}+\sqrt[3] {2-\sqrt{5}}$.
Câu 2
Giải phương trình: $\sqrt{x+2}=\frac{{{x}^{2}}+2x+2}{2x+1}\cdot $
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $A={{n}^{4}}-14{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}-154n+120$ chia hết cho 24.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên $20{{x}^{2}}+13{{y}^{2}}=2022$.
Câu 3
Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $BC$, điểm $A$ nằm trên nửa đường tròn $(A\ne B,C)$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC\ (H\in BC)$. Gọi $I$, $K$ lần lượt đối xứng với $H$ qua $AB,AC$. Đường thẳng $IK$ và tia $CA$ cắt tiếp tuyến kẻ từ $B$ của nửa đường tròn lần lượt tại $M,N$. Gọi $E$ là giao điểm của $IH$ và $AB,F$ là giao điểm của $KH$ và $AC$.
a) Chứng minh ba điểm $I$, $A$, $K$ thẳng hàng.
b) Chứng minh $IK$ là tiếp tuyến cùa ($O$).
c) Chứng minh các đường thẳng $MC,AH,EF$ đồng quy.
Câu 4
Bạn An có một mảnh vải hình tam giác vuông có các kích thước hai cạnh góc vuông lần lượt là $1\,\text{m}$ và 2,5m Bạn muốn tận dụng cắt ra một miếng mảnh vải hình chữ nhật có một cạnh thuộc cạnh huyền của mảnh vải ban đầu. Em hãy giúp bạn tìm cách cắt được mảnh vải hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
