Đề thi Toán vào 10 chuyên Hà Nam năm học 23-24

Đề thi Toán vào 10 chuyên Hà Nam năm học 23-24

Câu I. (2,0 điểm)
Cho biểu thức $A=\left(\frac{x \sqrt{x}-1}{1+x+\sqrt{x}}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-\sqrt{x}-2}\right)$ với $x \geq 0, x \neq 1, x \neq 4$.
1. Rút gọn biểu thức $A$.
2. Tìm tất cả các số nguyên của $x$ để $|2 A-1|+1=2 A$.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình $(x-1) \sqrt{x^2+6 x+16}=2 x^2-6 x+4$.
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2 x^3+x y(2 y-x)+2 x^2+6 x=x y+y^3+3 y^2 \\ \sqrt{3\left(x^2+y\right)+7}+\sqrt{5 x^2+5 y+14}=4-y-x^2\end{array}\right.$.
Câu III. (1,0 điểm)
$n=2028$
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $2^{2024}+2^{2027}+2^n$ là số chinh phương.
Câu IV. (4,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ có dây cung $B C$ cố định và không đi qua tâm $O$. Gọi $A$ là điểm di động trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $A B C$ nhọn và $A B<A C$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ và $H$ là trực tâm tam giác $A B C$. Tia $M H$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$, đường thẳng $A H$ cắt cạnh $B C$ tại $D$ và $A E$ là đường kính của đường tròn $(O)$.
1. Chứng minh $\widehat{B A D}=\widehat{C A E}$.
2. Chứng minh rằng tứ giác $B H C E$ là hình bình hành và $H A . H D=H K . H M$.
3. Tia $K D$ cắt đường tròn $(O)$ tại $I$ ( $I$ khác $K$ ), đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với đường thẳng $B C$ cắt $A M$ tại $J$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A K, B C$ và $H J$ cùng đi qua một điểm.
4. Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với $A K$ tại $A$ và cắt các cạnh $A B, A C$ lần lượt tại $P, Q$ phân biệt. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $P Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $A N$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V. $\left(1,0\right.$ điểm) Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$
P=\frac{1}{\sqrt{5 a^2+2 a b+2 b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5 b^2+2 b c+2 c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5 c^2+2 c a+2 a^2}} \text {. }
$