Đề thi vào 10 Chuyên KHTN – Hà Nội – Năm 2023
Đề thi vào 10 Chuyên KHTN – Hà Nội – Năm 2023
Môn toán chung
Câu I. (3,5 điểm)
1) Giải phương trình
$
\sqrt{x^2+6 x+2023}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2+5 x+2025}+\sqrt{5}, 11=2
$
2) Giải hệ phương trình
$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
(x+6 y)(3 x+2 y)=12, \\
2 x^3+6 y^3+15 x^2 y+19 y^2 x+x+6 y=12
\end{array}\right. \\
& =(0 ; 1) ;\left(\frac{28}{11} ;-\frac{45}{11}\right) ;\left(\frac{-4}{5} ;\right. \\
&
\end{aligned}
$
$(x ; y)$
Câu II. (2,5 điểm)
1) Giả sử $n$ là số nguyên sao cho $3 n^3-1011$ chia hết cho 1008. Chứng minh rằng $n-1$ chia hết cho 48 .
2) Với $a, b, c$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $a b+b c+c a=1$. Chứng minh rằng
$
\left(1+\frac{1}{1+a^2}\right)\left(1+\frac{1}{1+b^2}\right)\left(1+\frac{1}{1+c^2}\right)>4
$
Câu III. (3 điểm)
Cho hai đường tròn $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)$ cố định cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $O$ nằm $\left(O^{\prime}\right)$ và $O^{\prime}$ nằm ngoài $(O)$. Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $P$ di chuyển sao cho $P$ trong đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$. Đường thẳng $A P$ cắt $\left(O^{\prime}\right)$ tại $C$ khác $A$.
1) Chứng minh rằng hai tam giác $O B P$ và $\Theta^{\prime} B C$ đồng dạng.
2) Gọi $Q$ là giao điểm của hai đường thẳng $O P$ và $O^{\prime} C$. Chứng minh rằng $\widehat{Q B C}+\widehat{A B P}=90^{\circ}$.
3) Lấy điểm $D$ thuộc $(O)$ sao cho $A D$ vuông góc $O^{\prime} C$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $D Q$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi $P$ thay đồi.
Câu IV. (1 điểm)
Giả sử $A$ là tập hợp con của tập hợp gồm 30 số tự nhiên đầu tiên $\{0,1,2,3, \ldots, 29\}$ sao cho với $k$ nguyên bất kỳ, $a, b \in A$ bất kỳ (có thể $a=b$ ) thì $a+b+30 k$ không là tích 10 . hai só nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng số phần tử của tập hợp $A$ nhỏ hơn hoặc bằng 10
Môn Toán chuyên
Câu 1. (3,5 điểm)
1) Giai phương trinh
$
2 x+1+2 \sqrt{4 x^2+6 x}=4 \sqrt{5 x-x^2}
$
2) Giải hệ phương trinh
$
\left\{\begin{array}{l}
x y(x+y)=30, \\
x^3+y^{\prime}=30+\sqrt[3] {x+y+120},
\end{array}\right.
$
Câu II. (2,5 điểm)
1) Tìm tất cá các cập số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn
$
4^{\prime}+\left(1+3^{\prime}\right)\left(1+7^x\right)=2^{\prime}\left(3^{\prime}+7^r+2\right)
$
2) Với $x, y, z$ là nhû̀ng số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:
$
M=\frac{x^{14}-x^6+3}{x^2 y^2+z x+z y}+\frac{y^{14}-y^6+3}{y^2 z^2+x y+x z}+\frac{z^{14}-z^6+3}{z^2 x^2+y z+y x} \text {. }
$
Câu III. (3 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn với $A B<A C$ nọ̀i tiếp trong đường tròn $(O)$ có tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ căt $B C$ ơ $T$ sao cho $T B>B C$. Gọi $P$ và $E$ lẳn lượt là trung điểm của $T A$ va $T C$.
1) Chửng minh rằng tử giác $A P E B$ nội tiép.
2) Gọi giao điểm thử hai của $A E$ với $(O)$ là $F$. Lály $G$ thuọ̀c $(O)$ sao cho $F G$ song song với $A C$. Chửng minh rằng $\widehat{A T G}=\widehat{T A F}$.
3) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C, D$ là giao điểm của $A H$ và $B C$. $M$ là trung điểm $B C . K$ đới xủng vơi $A$ qua $B C . N$ thuộc đường thả̉ng $A M$ sao cho $N N$ song song với $H M$. Láy $S$ thụ̣c $B C$ sao cho $N S \perp N K$. Dưng $R$ thuọc tia $A K$ sao cho $A R \cdot A \|=A D^2 . Q$ là diếm sao cho $P Q \perp A S$ và $S Q \perp A O$. Chửng minh räng điếm đối xửng của $A$ qua $Q R$ thuọộc đường tròn đường kinh $D N$.
Câu IV. (1 điểm) Viết một trăm số nguyên dương dầu tiên 1, 2, 3, …, 100 vào một bảng ô vuông kích thước 10×10 một cách tùy ý sao cho mỗi ô được viết đúng một số. Chứng minh rằng tồn tại hai ô kề nhau (2 ô có cạnh chung) mà hai số viết ở hai ô này có hiệu lớn hơn hoặc bằng 10.
