Đề thi vào chuyên Sư Phạm Hà Nội – Năm học 2023 – 2024

Đề thi vào chuyên Sư Phạm Hà Nội – Năm học 2023 – 2024

Môn toán chung

Bài 1. (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức:
$
A=\frac{x^2+8 \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}+4}+\frac{2 x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{16-4 x}{\sqrt{x}+2} \text { với } x>0 .
$
b) Một khay nước có nhiệt độ $125^{\circ} \mathrm{F}$ khi băt đầu cho vào tủ đá. Ở trong tủ đá, cứ sau mỡi giờ, nhiệt độ của khay nước lại giảm đi $20 \%$. Hỏi sau bao nhiêu giờ, nhiẹtt độ của khay nướe chi còn là $64^{\circ} \mathrm{F}$ ?
Bài 2. (3,0 diểm) a) Cho phương trinh $x^2-(2 m-1) x-\left(m^2+1\right)=0$ (1) ( $m$ là tham số). Chứng minh rà̀ng với mọi giá trị của $m$, phương trình (1) luôn có hai nghiç̀m $x_1, x_2$. Tim hệ thức liên hệ giữa $x_1, x_2$ sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào $m$.
b) Cho parabol $(P): y=a x^2(a \neq 0)$ đi qua diểm $A\left(-1 ; \frac{1}{2}\right)$. Tìm tọa độ của điểm $M$ trên parabol $(P)$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến trục tung gấp hai lần khoàng cách từ điểm $M$ đé́n truc hoành.
Bài 3. (2,5 diểm) Cho hình bình hành $A B C D$ có $\widehat{A B C}=120^{\circ}$ và $B C=2 A B$. Dựng đường tròn $(O)$ có đường kính $A C$. Gọi $E, F$ là̀n lượt là các giao diểm thứ hai cùa $A B, A D$ vớ đường tròn $(O)$. Đường thẳng $E F$ là̀n lượt cắt các đường thả̉ng $B C, B D$ tại $H, S$. Chứng minh
a) Tam giác $A B D$ là tam giác vuông.
b) Tứ giác $O B E H$ là tứ giác nội tiếp.
c) $S C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
Bài 4. (1,0 điểm) Có hay không các số nguyên $a, b$ sao cho
$
(a+b \sqrt{2023})^2=2024+2023 \sqrt{2023} \text { ? }
$
Bài 5. (1,0 điềm) Trên bảng ta viết đa thức $P(x)=a x^2+b x+c(a \neq 0)$.
Ta viết lên bảng đa thức mới $P_1(x)=\frac{P(x+1)+P(x-1)}{2}$ rồi xóa đi đa thức $P(x)$.
Ta viết lên bảng đa thức mói $P_2(x)=\frac{P_1(x+1)+P_1(x-1)}{2}$ rồi xóa đi đa thức $P_1(x)$.
Ta cứ tiếp tục làm như thế nhiểu lần.
Chứng minh rằng né́u cứ làm như vậy nhiều lần thỉ đến một lúc nào đó ta nhận được một đa thức không có nghiệm.

Read:   [Chủ đề 4 – Toán thực tế] Dạng 6: Bài toán xác định chỉ số sinh học của con người

Môn Toán chuyên

Bài 1. (2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1 là bình phương của một số nguyên.
b) Tìm các cặp số nguyênn $(x ; y)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$
\left\{\begin{array}{l}
2 x y-x=10 \\
x+y+x y=11
\end{array}\right.
$
Bài 2. ( 3,0 diềm)
a) Cho $a, b$ là các số thực không âm, $c$ là số thực dương thỏa mãn đẳng thức:
$
\sqrt{a}-\sqrt{a+b-c}=\sqrt{b}+\sqrt{c}
$
Chứng minh rằng $\sqrt[3] {a}+\sqrt[3] {b}-\sqrt[3] {c}=\sqrt[3] {a+b-c}$.
b) Tìm các só́ nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{5}+\sqrt{b}}$ là số hữu ti.
Bài 3. (2,5 diểm)
Cho tam giác $A B C$. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác $A B C$ lần lưọt tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ tại các điềm $D, E, G$. Hai đường thẳng $D E, D G$ lần lượt cắt dường phân giác ngoài của góc $B A C$ tại $M, N$. Hai dường thẳng $M G, N E$ cát nhau tại điểm $P$. Chúng minh:
a) $E G$ song song với $M N$.
b) Điểm $P$ thuộc đường tròn $(I)$.
Bài 4. (1,0 điềm)
Bày lục giác đều được sắp xếp và tô màu bằng hai màu trấng, đen như ở Hinh 1. Mỗi lần cho phép chọn ra một lục giác đều, đồi màu của lục giác đó và của tất cả các lục giác đều có chung cạnh với lục giác đó (tráng thành đen hoặc đen thảnh trắng). Chứng minh rằng dù có thực hiện
Hinh 1
Hinh 2 cách làm trên bao nhiêu lần đi nũ̃a, cũng không thể nhận được các lục giác đều được tô màu như ở Hinh 2.
Bài 5. (1,0 điểm)
Chứng minh rằng tồn tại số nguyễn dương $n>10^{2023}$ ( sao cho tống tất cà các số nguyên tố nhó hơn $n$ là một số nguyen tố cùng nhau với $n$.

Read:   Đề thi HSG Toán 9 Hà Nội – Năm học 2020 – 2021
Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *