File Word đề thi Chuyên Toán Phú Yên – Năm học 2023 – 2024
File Word đề thi Chuyên Toán Phú Yên – Năm học 2023 – 2024
Câu 1. (4,00 điểm)
a) Cho biểu thức $A=\left(\frac{x+2}{x \sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right): \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$.
Rùt gon biếu thức $A$; tính giá trị cùa $A$, biết $x=\frac{6+2 \sqrt{5}}{2+\sqrt{6+2 \sqrt{5}}}+\frac{6-2 \sqrt{5}}{2-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}}$.
b) Cho biết $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{2}(a>1, b>1)$. Chứng minh rằng $a b-\sqrt{1-a^2 b^2+a^2+b^2}=1$.
Câu 2. (6,00 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a) $(x-\sqrt{3})^3+(x+\sqrt{5})^3+(\sqrt{3}-\sqrt{5}-2 x)^3=0$.
b) $\left\{\begin{array}{l}(x y)^3+3 x y^3+2=6 y^2 \\ 3 x y^3=y^2+2\end{array}\right.$
Câu 3. (3,00 điểm) Cho đoạn thẳng $A B$, với $M$ là trung điềm. Trên đường trung trực $M t$ của đọ̣n thẳng $A B$ lấy điềm $I$ bất kì. Vẽ tia $A x$ sao cho $A I$ là phân giác góc $B A x$. Đường thẳng $B I$ cắt $A x$ tại $N$. Gọi $C$ là điểm đối xứng của $A$ qua $N, H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $A B$.
a) Chứng minh rằng tam giác $N H B$ cân.
b) Chứng minh đẳng thức: $B H^2=H I \cdot B N$.
c) Khi điểm $I$ di chuyền trên đường trung trực $M t$ đến vị trí làm cho tam giác $A B C$ vuông tại $C$, hãy tính tỉ số $\frac{A B}{A C}$.
Câu 4. (1,00 điểm) Cho phương trình $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$, với $a, b, c$ là số thực thòa $2 a-b+c=0$. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương.
Câu 5. (3,00 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Gọi $D$ là trung điểm của $A B, H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $D C$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $B C$ cắt đường thẳng $A B$ tại $E$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên đường thẳng $D C$.
a) Chứng minh $B H$ vuông góc với $A I$.
b) Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $B H$ cắt đường thẳng $D C$ tại $K$. Chứng minh tứ giác $B C E K$ nội tiếp.
Câu 6. (3,00 điểm) Cho $x, y$ là hai số thực thỏa mãn: $x \geq 1,0<y \leq 1$. Chứng minh rằng:
$
\frac{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} \geq \frac{x}{x^2+y}+\frac{y}{y^2+x}}{}
$
Các bạn comment để nhận file word
