File Word đề thi Chuyên Toán vào 10 Đà Nẵng – Năm học 2023 – 2024

File Word đề thi Chuyên Toán vào 10 Đà Nẵng – Năm học 2023 – 2024

Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức $P=\frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}:\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}-\frac{x}{\sqrt{x y}+y}-\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}-x}\right)$ và biểu thức $Q=\frac{x \sqrt{x}-y \sqrt{y}-x \sqrt{y}+y \sqrt{x}}{2(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$ vói $x>0, y>0$ và $x \neq y$. Rút gọn các biểu thức $P, Q$ và chứng minh rằng với các số $x, y$ dương phân biệt tùy ý thì $4 \mathrm{Q}+1>2 \mathrm{P}$.
Bài 2. (1,5 điểm) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho parabol $(\mathrm{P}): \mathrm{y}=\mathrm{x}^2$ và đường thẳng $(\mathrm{d}): \mathrm{y}=\mathrm{kx}+5$. Đường thẳng $(\mathrm{d})$ cắt parabol $(\mathrm{P})$ tại hai điểm $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$. Gọi $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ lần lượt là hình chiếu của $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ trên trục $\mathrm{Ox}$.
a) Khi $\mathrm{k}=-4$, tính diện tích hình thang $A B D C$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $\mathrm{k}$ để $\mathrm{AD}$ và $\mathrm{BC}$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn đường kính $\mathrm{CD}$.
Bài 3. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình $10 x^2+3 x+2=(6 x+1) \sqrt{x^2+2}$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-y\right) \sqrt{x-2}=x(y-x+2) \\ (y-1)(y-3 x-3)=x^2-3 x+3-8 \sqrt{x-2}\end{array}\right.$
Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn $\mathrm{ABC}$, với $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$, nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$. Các tiếp tuyến của đường tròn $(\mathrm{O})$ tại $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ cắt nhau ở $\mathrm{D}$. Đường tròn đường kính $\mathrm{AD}$ cắt đường tròn đường kính $\mathrm{OD}$ tại điểm $\mathrm{E}$ (khác $\mathrm{D})$. Gọi $\mathrm{F}$ là giao điểm của đoạn thẳng $\mathrm{OE}$ và đường tròn $(\mathrm{O})$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{E}$ thẳng hàng và $\mathrm{CF}$ là tia phân giác của góc $\mathrm{BCE}$.
b) Các tia $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ lần lượt cắt đường tròn đường kính $\mathrm{AD}$ tại các điểm $\mathrm{G}, \mathrm{K}$ (đều khác $\mathrm{A}$ ). Chứng minh rằng $\mathrm{OD}$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $\mathrm{GK}$.
Bài 5. (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn $\mathrm{ABC}$ có $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}<\mathrm{BC}$, đường tròn $(\mathrm{O})$ nội tiếp tam giác $\mathrm{ABC}$ tiếp xúc với cạnh $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{M}$. Lấy điểm $\mathrm{E}$ nằm giữa $\mathrm{A}$ và $\mathrm{M}$. Trên cạnh $\mathrm{AC}, \mathrm{BC}$ lần lượt lấy các điểm $\mathrm{D}, \mathrm{F}$ sao cho $\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$ và $\mathrm{BF}=\mathrm{BE}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{DEF}$ lần lượt cắt $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{G}$ (khác $\mathrm{E}$ ) và $\mathrm{H}$ (khác $\mathrm{F}$ ). Chứng minh rằng $\mathrm{O}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{DEF}$ và các đường thẳng $\mathrm{CM}, \mathrm{ED}, \mathrm{GH}$ đồng quy.
Bài 6. (1,5 điểm)
a) Cho các số thực dương $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ thỏa mãn $\mathrm{xyz}=1$. Chứng minh rằng:
$
2008\left(x^2+y^2+z^2\right)+15\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \geq 2023(x+y+z)
$
b) Cho phương trình $\mathrm{x}^2-4 \mathrm{mn}^2 \mathrm{x}-4 \mathrm{mn}^3-\mathrm{m}=0$, với $\mathrm{m}$ và $\mathrm{n}$ là các tham số. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(\mathrm{m} ; \mathrm{n})$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2$ đều là số nguyên và $x_1+x_2+1$ là số nguyên tố.