File Word đề thi Chuyên Toán vào 10 Đăk Lăk – Năm học 2023 – 2024

File Word đề thi Chuyên Toán vào 10 Đăk Lăk – Năm học 2023 – 2024

Câu 1. (2,0 điểm)
(1.) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2-2 x-3 m-2=0$ có nghiệm.
2. Gọi $x_1, x_2, x_3, x_4$ là các nghiệm của phương trình $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=1$.
Tính giá trị của biểu thức $P=x_1, x_2, x_3 \cdot x_4$.

Câu 2. (2,0 điểm)
1. Cho đa thức $f(x)$ thòa mãn $2 f(x)+3 f(2-x)=5 x^2-8 x+3$ (1) với mọi số thực $x$.
a. Trong đẳng thức (1), thay $x$ bởi $2-x$ và ghi ra kết quả.
b. Giải phương trình $f(x)=-1$.
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3-6 x^2+13 x-10-(x-y+2) \sqrt{x-y+1}=0 \\ \left(3 x^2+18 x-2 x y+6 y-y^2\right) \sqrt{x-y+6}-24 x-8 y=0\end{array}\right.$

Câu 3. (2,0 điểm)
1. Cho 9 hình vuông có độ dài các cạnh là 9 số nguyên dương liên tiếp. Gọi $S$ là tổng diện tích của 9 hình vuông đã cho. Tồn tại hay không một hình vuông có cạnh là một số nguyên dương và có diện tích bằng $S$ ?
2. Vẽ bất kì 17 đường tròn, mỗi đường tròn có độ dài đường kính là một số nguyên dương. Chứng minh rằng trong 17 đường tròn đó, ta luôn chọn được 5 đường tròn có tổng độ dài các đường kính là một số chia hết cho 5 .

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ có $\widehat{A B C}=\widehat{A D C}=90^{\circ}, B C=C D$. Gọi $M$ là trung điểm của $A B$, đường tròn tâm $C$ bán kính $B C$ ( ký hiệu là đường tròn $(C)$ ) cắt $M D$ tại $E(E \neq D), H$ là giao điểm của $A C$ và $B D$.
1. Chứng minh rằng $\triangle M E B \backsim \triangle M B D$ và tứ giác $B H E M$ là tứ giác nội tiếp.
2. Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $A E$ và đường tròn $(C)(F \neq E)$. Chứng minh $B C \perp D F$.
3. Gọi $I$ là giao điềm của đường thẳng $B C$ và đường tròn $(C)(I \neq B), J$ là giao điểm của $A I$ và $D F$. Tính ti số $\frac{D J}{D F}$.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực $x, y, z, t$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+t^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=x y+x z+x t+y z+y t+3 z t$.

Hướng dẫn câu 5

$
\begin{aligned}
& \text { Taco: } A=x y+x(z+t)+y(z+t)+3 z t=x y+(x+y)(z+t)+3 z t \\
& \text { Taco: } x y \leq \frac{x^2+y^2}{2},(x+y)(z+t) \leq|x+y||z+t| \\
& \quad 3 z t \leq 3 \leq \frac{3\left(z^2+t^2\right)}{2\left(x^2+y^2\right)\left(2\left(z^2+t^2\right)\right)} \\
& \Rightarrow A \leq \frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2+2 \sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}+\frac{3}{2}\left(z^2+t^2\right)
\end{aligned}
$
(1) at $a=x^2+y^2 \Rightarrow 0 \leq a \leq 1$
$
\Rightarrow 2 A=a+4 \sqrt{a(1-a)}+3(1-a)=3+4 \sqrt{a(1-a)}-2 a
$
Ta sẽ chứng minh $4 \sqrt{a(1-a)}-2 a \leqslant \sqrt{5}-1$ (1)
$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \quad 4 \sqrt{a(1-a)} \leqslant 2 a+(\sqrt{5}-1) \\
& \Leftrightarrow \quad 16 a-16 a^2 \leq 4 a^2+4 a(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}-1)^2 \\
& \Leftrightarrow[2 \sqrt{5} a-(\sqrt{5}-1)] ^2 \geqslant 0 \text {. Đúng. } \\
&
\end{aligned}