File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2007– 2008
File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2007– 2008
Câu 1: (2,5 điểm)Rút gọn $P=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}$
Câu 2: (2,5 điểm) Giải phương trình: $\frac{x+2}{1986}+\frac{x+3}{1985}+\frac{x+4}{1984}+\frac{x+5}{1983}+\frac{x+2008}{5}=0$
Câu 3: (2,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 0$ thì $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$là một số chính phương.
Câu 4: (2,5 điểm) Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{align}& mx-y=2 \\& 3x+my=5 \\\end{align} \right.$
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn $x+y=1-\frac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+3}$
Câu 5: (1,0 điểm)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)=2008$.
Câu 6: (1,5 điểm) Cho $a>0,b>0$ và $a\ne b$. Chứng minh rằng: $\sqrt{ab}<\frac{{{(a-b)}^{2}}}{8\left( \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \right)}<\frac{a+b}{2}$
Câu 7: (1,0 điểm) Cho m là số nguyên và $m\ge 5$. Chứng minh không tồn tại số nguyên n để cho
\[1!+2!+3!+4!+5!+…+m!={{n}^{2}}\] (kí hiệu: $m!=1.2.3.4.5…m$)
Câu 8: (1,5 điểm) Tìm x, y thỏa mãn: $5x-2\sqrt{x}(2+y)+{{y}^{2}}+1=0$
Câu 9: (1,0 điểm) Tổng của n số nguyên liên tiếp bằng 2008 ($n\ge 1)$. Tìm các số nguyên này.
Câu 10: (1,0 điểm) Giải phương trình: ${{({{x}^{2}}-3x+2)}^{2}}={{x}^{6}}-{{(3x-2)}^{3}}$
Câu 11: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn), số đo góc BAC bằng 450. Vẽ các đường cao BE và CF. Gọi H là trực tâm và O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MEKF là hình thoi và có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của OH.
Câu 12: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7. Lấy M và N lần lượt trên hai cạnh AB và AC của tam giác sao cho AN = BM. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Cho biết diện tích của tam giác BOC bằng 2. Chứng minh rằng: $\frac{MB}{AB}=\frac{1}{3}$ hoặc $\frac{MB}{AB}=\frac{2}{3}$.
