File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2009– 2010
File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2009– 2010
Câu 1 (2,5 đ)
a) Rút gọn $\text{A}={{(\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}})}^{2}}$.
b) Phân tích đa thức $\text{B}$ thành nhân tử với $\text{B}={{\text{x}}^{4}}+{{\text{x}}^{3}}+2\text{x}-4$.
Câu 2 (2,0 đ) Cho biểu thức $\text{A}=\frac{\text{x}+5-5\sqrt{\text{x}-1}}{\text{x}-3\sqrt{\text{x}-1}-1}$.
a) Tìm điều kiện của $\text{x}$ để biểu thức $\text{A}$ có nghĩa.
b) Chứng minh : $\text{A}=1-\frac{2}{\sqrt{\text{x}-1}}$.
Câu 3 (2,0 đ) Với mọi số thực $\text{a},\text{b},\text{x},\text{y}$, chứng minh rằng ta luôn có :
${{(ax-by)}^{2}}\ge \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$
Câu 4 (2,0 đ) Cho hai số tự nhiên a và b bất kì. Chứng minh :
$\text{A}=\left( \text{a}+\text{b} \right)\left( \text{a}+2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \right)\left( \text{a}+3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \right)\left( \text{a}+4\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \right)+{{\text{b}}^{4}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$ là số chính phương
Câu $5(2,0$ d $)$ Cho $\frac{\text{x}}{2008}=\frac{\text{y}}{2009}=\frac{\text{z}}{2010}$. Chứng minh : $4\left( \text{x}-\text{y} \right)\left( \text{y}-\text{z} \right)={{(\text{z}-\text{x})}^{2}}$.
Câu 6 (1,5 đ) Cho số $\text{A}=2011.2012.2013$…. .4020. Chứng minh A chia hết cho ${{2}^{2010}}$.
Câu $7\left( 2,0 \right.$ d) Tìm $\text{x}$ và $\text{y}$ biết rằng : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}+\text{y}=3 \\{{\text{x}}^{4}}+{{\text{y}}^{4}}=17 \\\end{array} \right.$
Câu $8(2,0$ đ) Cho đường tròn tâm $\text{O}$, đường kính $\text{AB}$ cố định. $\text{C}$ là một điểm cố định trên $\left( \text{O} \right)$ thỏa mãn $\overset\frown{AC}>\overset\frown{CB}$. Gọi $\text{M}$ là một điểm di động trên cung nhỏ $\text{CB}$ ( $\text{M}$ không trùng $\text{C}$ và $\text{B}$ ). Tia $\text{CM}$ cắt đường thẳng $\text{AB}$ tại $\text{D}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\text{OMD}$ cắt đường tròn $\left( \text{O} \right)$ tại điểm thứ hai là $\text{E}$ ( $\text{E}$ khác $\text{M})$.
a) Chứng minh $\text{CE}\bot \text{AB}$.
b) Chứng minh $\text{E}$ là một điểm cố định khi $\text{M}$ di động trên cung nhỏ $\text{BC}$.
Câu 9 (2,5 đ) Cho hình chữ nhật $\text{ABCD}$. có $\text{AB}=\text{a},\text{AD}=\text{b}$. Trên tia đối của tia $\text{AD}$, lấy điểm $\text{F}$ sao cho $\text{AF}=\text{AB}$. Trên tia đối của tia $\text{AB}$, lấy điểm $\text{E}$ sao cho $\text{AE}=\text{AD}$. Giao điểm của $\text{FC}$ với $\text{AB}$ là $\text{N}$. Giao điểm của $\text{EC}$ với $\text{AD}$ là $\text{M}$.
a) Chứng minh : $\text{MD}=\text{BN}=\frac{\text{ab}}{\text{a}+\text{b}}$.
b) Gọi giao điểm của $\text{DB}$ với $\text{FC}$ và $\text{EC}$ lần lượt là $\text{I}$ và $\text{G}$.
Chứng minh : Diện tích (AMGIN) = Diện tích $($DGC) + Diện tích (IBC).
Câu 10 (1,5 đ) Cho tam giác nhọn $\text{ABC}$, lấy điểm $\text{D}$ thuộc miền trong của tam giác sao cho $\widehat{\text{DAC}}=\widehat{\text{DBC}}$. Gọi $\text{E}$ và $\text{F}$ lần lượt là hình chiếu của $\text{D}$ lên cạnh $\text{AC}$ và cạnh $\text{BC}$. Biết $\text{M}$ là trung điểm cạnh $\text{AB}$. Chứng minh tam giác MEF cân.
