File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2015 – 2016
File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2015 – 2016
Câu 1: (2.0 điểm) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$.
Câu 2: (2.0 điểm) Với giá trị nào của a và b thì đa thức$f(x)={{x}^{4}}-9{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+x+b$ chia hết cho đa thức ${{x}^{2}}-x-2$?
Câu 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua tâm O. Kẻ DH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng $\frac{{{S}_{\Delta ACD}}}{{{S}_{\Delta BHD}}}=\frac{A{{D}^{2}}}{B{{D}^{2}}}$.
Câu 4: (2.0 điểm) Tìm giá trị của a để $\left( a+\sqrt{15} \right)$ và $\left( \frac{1}{a}-\sqrt{15} \right)$đều là các số nguyên.
Câu 5: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, lấy điểm D sao cho DB = DC. Chứng minh rằng $D{{B}^{2}}=D{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}$.
Câu 6: (1.5 điểm) Cho hai số thực $x,y$ với $x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}};y=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$. Tính giá trị của biểu thức $A=5{{x}^{2}}+6xy+5{{y}^{2}}$.
Câu 7: (1.5 điểm) Giải phương trình: $\sqrt{{{x}^{2}}+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6$.
Câu 8: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh BC lấy điểm O (OC < OB) và vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AC. Từ A kẻ tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn (O) với E là tiếp điểm. Gọi M là trung điểm của AC, BM cắt AE tại I. Chứng minh rằng IB = IE.
Câu 9: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A và $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AB + BM = AC + CM. Tính số đo góc $\widehat{CAM}$.
Câu 10: (1.5 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align} & \left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( 3x+y \right)=-18 \\ & {{x}^{2}}+5x+y+3=0 \\ \end{align} \right.$
Câu 11: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AI. Gọi E là trung điểm AB, K là trung điểm OI. Chứng minh rằng tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn.
Câu 12: (1.5 điểm) Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $\left\{ \begin{align}& x\ge 2;y\ge 9;z\ge 1951 \\& x+y+z=2016 \\\end{align} \right.$ Tìm giá trị lớn nhất của $xyz$.
