File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2019 – 2020

File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2019 – 2020

Câu 1. (2.0 điểm)    Cho biểu thức  $M\,\,=\,\,\left( \frac{x\,+\,1}{x\,-\,\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}\,-\,1} \right)\,:\frac{\sqrt{x}-1}{3}$   với $x\,>\,0\,,\,x\,\ne \,1.$

1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm các giá trị nguyên của x để M là số nguyên.

Câu 2. (2.0 điểm)    Cho $P\,\,=\,\,5\,+\,{{5}^{2}}\,+\,{{5}^{3}}\,+\,{{5}^{4}}\,+\,…+\,{{5}^{2018}}\,+\,{{5}^{2019}}\,+\,{{5}^{2020}}$. Chứng minh rằng $P\,\,\vdots \,\,30.$

Câu 3. (2.0 điểm)    Một máy bay chuyển động thẳng đều theo phương nằm ngang với vận tốc 150 m/s. Ở vị trí A phi công nhìn địa điểm E ở mặt đất thẳng phía trước máy bay theo góc 58⁰ so với phương thẳng đứng và sau đó 20 giây đến vị trí B lại nhìn thấy địa điểm E theo góc 28⁰ (hình 1). Tính độ cao h của máy bay so với mặt đất.

$\begin{align}& \text{(}Cho\text{ }biet:\text{ }\sin {{58}^{0}}\approx 0,85\,;\,\,\,\sin {{28}^{0}}\approx 0,47\,;\,\,\cos \,{{58}^{0}}\approx 0,53;\text{ }\cos {{28}^{0}}\approx 0,88\,;\,\, \\& \tan {{58}^{0}}\approx 1,60\,\,;\,\,\tan {{28}^{0}}\approx 0,53). \\\end{align}$

Câu 4. (2.0 điểm)    Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình ${{x}^{2}}\,+\,x\,+\,13\,=\,{{y}^{2}}.$

Câu 5. (1.5 điểm)    Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn ${{x}^{3}}\,+\,{{y}^{3}}\,+\,{{z}^{3}}\,-3xyz\,=\,0.$

Tính giá trị của biểu thức: $A\,\,=\,\,\,\frac{2018x\,-\,2019y\,+\,2020z}{\sqrt[3] {xyz}}\cdot $         

Câu 6. (1.5 điểm)    Giải hệ phương trình:  

$\left\{ \matrix{
{x^2}\, + \,{y^2}\, = \,10 \hfill \cr
6{x^2}\, – \,12x\, + \,8\, = \,\left( {x\, + \,y} \right)\left( {10\, – \,xy} \right) \hfill \cr} \right.$

Câu 7. (1.5 điểm)    Một tàu lửa dài 120 m chạy qua một đường hầm với vận tốc 40 km/h. Từ lúc đầu tàu chui vào đường hầm cho tới lúc toa cuối cùng ra khỏi hầm mất 10 phút 15 giây. Tính chiều dài của đường hầm.

Câu 8. (1.5 điểm)    Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O),AD là đường phân giác trong của tam giác ABC (D thuộc BC). Chứng minh rằng: $DB.DC=AB.AC\text{ }\text{ }A{{D}^{2}}.$

Câu 9. (1.5 điểm)    Giải phương trình: $4{{x}^{2}}\,+3x\,+3\,=\,4\sqrt{{{x}^{3}}\,+\,3{{x}^{2}}}\,+\,2\sqrt{2x\,-\,1}.$

Câu 10. (1.5 điểm)  Cho tứ giác ABCD, vẽ hình bình hành ACBE. Chứng minh diện tích tứ giác ABCD bằng diện tích tam giác BDE.

Câu 11. (1.0 điểm)  Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S=\sqrt{a+b}\,+\,\sqrt{b+c}\,+\,\sqrt{c+a}\,.$

Câu 12. (2.0 điểm)  Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 2 và hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi ${{R}_{1}}$, ${{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADC và DBC. Chứng minh rằng: $\frac{1}{R_{1}^{2}}\,+\,\frac{1}{R_{2}^{2}}=1.$