File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2021 – 2022
File Word đề thi HSG Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2021 – 2022
Câu 1 (4.0 điểm)
1.1. Cho biểu thức $P=\frac{2x+4\sqrt{x}+6}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+3}-2$ với $x\ge 0,\text{ }x\ne 1.$ Tìm tất cả các số tự nhiên x để P là số tự nhiên.
1.2. Một cửa hàng quần áo nhập một cái áo khoác lông cừu với giá 60 đô la. Cửa hàng ước tính rằng nếu một cái áo khoác lông cừu được bán với x giá đô la thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua (140 – x) cái. Hỏi cửa hàng bán một cái áo lông cừu giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất.
Câu 2 (4.0 điểm)
2.1. Cho các hàm số bậc nhất: $y=\frac{1}{2}x-3,\text{ }y=4-x$ và $y=\frac{m}{6}x-4$ có đồ thị lần lượt là các đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right),\text{ }\left( {{d}_{2}} \right)$ và $\left( {{d}_{m}} \right)$. Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng $\left( {{d}_{m}} \right)$ cắt hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm và điểm B có hoành độ dương?
2.2. Tính chiều cao của một tháp truyền hình (kết quả làm tròn đến m), biết tại hai điểm A, B cách nhau 200 m, người ta nhìn thấy đỉnh của tháp với góc nâng lần lượt là 300 và 340(theo hình vẽ minh họa ở bên).
Cho biết $\sin {{34}^{0}}\approx 0,56,$$\text{cos3}{{\text{4}}^{0}}\approx 0,83,$$\tan {{34}^{0}}\approx 0,67,$$\operatorname{t}\text{an3}{{0}^{0}}\approx 0,58.$
Câu 3 (4.0 điểm)
3.1. Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}={{60}^{0}},$ tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D. Chứng minh rằng $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AD}.$
3.2. Số nhà bạn Bình là số nguyên tố gồm hai chữ số $\overline{ab}$ biết $\overline{ab}\,=\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+3.$Tìm số nhà bạn Bình.
Câu 4 (4.0 điểm)
4.1. Cho x, y, z là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
${{\left( x-y \right)}^{3}}+{{\left( y-z \right)}^{3}}+{{\left( z-x \right)}^{3}}$ chia hết cho $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right).$
4.2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& y{{\left( x+y \right)}^{2}}+y-2=2{{x}^{2}} \\& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+1=2y \\\end{align} \right.$.
Câu 5 (4.0 điểm)
5.1. Cho tam giác $ABC$ và $M$ là một điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác đó. Gọi khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $BC,\text{ }CA,\text{ }AB$ theo thứ tự là $m,\text{ }n,\text{ }p$ và các đường cao hạ từ các đỉnh $A,\text{ }B,\text{ }C$ theo thứ tự là ${{h}_{a}},\text{ }{{h}_{b}},\text{ }{{h}_{c}}$. Chứng minh: $\frac{{{h}_{a}}}{m}+\frac{{{h}_{b}}}{n}+\frac{{{h}_{c}}}{p}\ge 9.$
5.2. Cho đa thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}+mx+n$với $m\in Z,\text{ n}\in Z$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để $f\left( k \right)=f\left( 2021 \right).f\left( 2022 \right)$.
