File Word đề thi HSG Toán 8 Huyện Nông Cống – Năm Học 2022 – 2023
File Word đề thi HSG Toán 8 Huyện Nông Cống – Năm Học 2022 – 2023
Câu 1. (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức: $P=\frac{x^2+x}{x^2-2 x+1}:\left(\frac{x+1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)$; với $x \neq 0 ; x \neq \pm 1$.
Rút gọn $P$ và chứng minh $P \geq 4$ với mọi $x>1$.
2. Cho ba số $a, b, c$ đôi một khác nhau, thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3 a b c$ và $a b c \neq 0$. Tính giá trị cùa biếu thức: $B=\frac{8(a+b)}{c}+\frac{3(b+c)}{a}-\frac{2034(c+a)}{b}$.
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình: $(x-7)(x-5)(x-4)(x-2)=72$
2. Cho $x ; y$ là các số hữu tỉ khác 1 thỏa mã̃n: $\frac{2 x-1}{x-1}+\frac{2 y-1}{y-1}=1$. Chứng minh: $M=x^2+y^2-x y$ là bình phương của một số hữu ti.
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mằn: $y^2+2 x y-3 x-2=0$
2. Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ sao cho $a+b^2$ chia hết cho $a^2 b-1$.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ có độ dài bằng $2 a$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là $A B$ vẽ hai tia $A x$ và $B y$ cùng vuông góc vởi $A B$. Trên tia $A x$ lâyy điềm $D$ bất kì $(D$ khác $A)$. Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $O D$ tại $O$, cắt $B y$ tại $C$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $C D$.
1. Chứng minh: $\triangle A D H \sim \triangle B O H$ và $\triangle A H B$ vuông.
2. Goi $I$ là giao điểm của $A C$ và $B D, E$ là giao điểm của $A H$ và $D O, F$ là giao điểm của $B H$ và $C O$. Chứng minh $E, I, \mathrm{~F}$ thẳng hàng.
3. Tìm vị trí của $D$ trên $A x$ để diện tích tứ giác $A B C D$ nhỏ nhất? Tìm giá trị nhó nhất đó.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương số $a, b, c$ thỏa mãn $a b c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $T=\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{b}{a^4+c^4+b}+\frac{c}{a^4+b^4+c}$
Hết
