File Word đề thi HSG Toán 9 Huyện Kỳ Anh – Năm học 2022 – 2023

File Word đề thi HSG Toán 9 Huyện Kỳ Anh – Năm học 2022 – 2023

Đề thi

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ: (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1: Rút gọn biểu thức: $A=\sqrt{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})+\sqrt{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}$

Câu 2: Giải phương trình: $\frac{21}{x^2-4 x+6}=x^2-4 x+10$

Câu 3: Cho $a-b=2$
Tính giá trị của biểu thức: $B=a^2(a+1)-b^2(b-1)+2023 a b-3 a b(a-b+675)$

Câu 4: Tìm các số tự nhiên $\mathrm{n}$ để $\mathrm{n}+5$ và $\mathrm{n}+30$ đều là số chính phương.

Câu 5: Cho số $a>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{D}=4 \mathrm{a}+\frac{2}{(\mathrm{a}-1)^2}$

Câu 6: Cho a,b là các số thực phân biệt thỏa mãn $a^2+3 a=b^2+3 b=2$
Tính giá trị biểu $E=a^5+b^5$

Câu 7: Đa thức $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ chia cho $3-2 x$ có số dư là 5 , chia cho $x+2$ có số dư là 12 . Tìm du khi chia đa thức $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ cho $2 x^2+x-6$

Câu 8: Một cửa hàng nhập được một lô hàng để bán. Ngày thứ nhất bán được 8 sản phẩm và $1 / 8$ số sản phẩm còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 sản phẩm và $1 / 8$ số sản phẩm còn lại. Ngày thứ ba bán được 24 sản phẩm và $1 / 8$ số sản phẩm còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết toàn bộ lô hàng đã nhập. Biết số sản phẩm bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì bán hết lô hàng.

Câu 9: Tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$, biết $\mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}$ và góc $\mathrm{A}$ bằng $36^{\circ}$. Tính $\mathrm{BC}$

Câu 10: Cho hình chữ nhật $\mathrm{ABCD}$ có diện tích bằng $48 \mathrm{~cm}^2$; trên $\mathrm{BC}$ và $\mathrm{CD}$ lần lượt lấy các điểm $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Biết $\mathrm{S}_{\mathrm{ABE}}=8 \mathrm{~cm}^2 ; \mathrm{S}_{\mathrm{ADF}}=2 \mathrm{~cm}^2$. Tính $\mathrm{S}_{\mathrm{AEF}}=$ ?

II. PHẦN TỰ LUẬN:(Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11:
a) Giải phương trình: $(2 x-1)^2-9=4 \sqrt{x^2-x}$
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $7\left(x^2+y^2\right)=25(x+y)$

Câu 12: Cho hình chữ nhật $A B C D$. Kẻ $B H$ vuông góc với $A C$ (H thuộc $A C$ ). Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{AH}$ và $\mathrm{BH}$.
a. Chứng minh $\mathrm{CK} \perp \mathrm{IB}$
b. Gọi $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{AB}$ và $\mathrm{CD}$. Tia $\mathrm{IE}$ cắt đường thẳng $\mathrm{BC}$ ở
M. Chứng minh $\mathrm{FE}$ là phân giác của góc IFM

Câu 13. Cho $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=12$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\sqrt{x+4}+\sqrt{2 y+4}+\sqrt{3 z+4}$

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2022-2023

Phần ghi kết quả: 10đ

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bài 1. $A=\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài 2. $\frac{21}{x^2-4 x+6}=x^2-4 x+10 \Leftrightarrow \frac{21}{(x-2)^2+2}=(x-2)^2+6\left(^*\right)$
Đặt: $(x-2)^2=t(\mathrm{t} \geq 0)$
$\left(^*\right) \Rightarrow \frac{21}{t+2}=t+6 \Rightarrow t^2+8 t+12=21 \Leftrightarrow t^2+8 t-9=0 \Leftrightarrow(t-1)(t+9)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1 \\ t=-9(\text { loai })\end{array}\right.$
Thay: $(x-2)^2=1 \Leftrightarrow(x-3)(x-1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=3\end{array}\right.$

Bài 3. $B=a^3-b^3+a^2+b^2+2023 a b-2025 a b-3 a b(a-b)$
$
=a^3-b^3-3 a b(a-b)+a^2+b^2-2 a b=(a-b)^3+(a-b)^2=8+4=12
$
Bài 4. Đặt $n+5=a^2 ; n+30=b^2$ (với a,b nguyên và $\mathrm{b}>\mathrm{a}>0$ )
Theo bài ra ta có: $b^2-a^2=25 \Leftrightarrow(b-a)(b+a)=25 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}b+a=25 \\ b-a=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=12 \\ b=13\end{array}\right.\right.$
Thay vào ta có $n=139$.
Bài 5.$\mathrm{D}=4 \mathrm{a}+\frac{2}{(a-1)^2}=2(a-1)+2(a-1)+\frac{2}{(a-1)^2}+4 \geq 3 \sqrt[3] {2(a-1) \cdot 2(a-1) \frac{2}{(a-1)^2}}=10$
Bài 6. Cho a,b là các số thực phân biệt thỏa mãn $a^2+3 a=b^2+3 b=2$
Tính giá trị biểu $E=a^5+b^5$
$
\begin{aligned}
& \text { +) } \left.a^2+3 a=b^2+3 b \Leftrightarrow(a-b)(a+b+3)=0 \Rightarrow a+b=-3 \text { (vì } a \neq b\right) \\
& \text { +) } a^2+3 a=b^2+3 b=2 \Rightarrow a^2+3 a+b^2+3 b=4 \Rightarrow a^2+b^2+3(a+b)=4 \\
& \Rightarrow a^2+b^2-9=4 \Rightarrow a^2+b^2=13 \\
& \text { +) } a+b=-3 \Rightarrow a^2+b^2+2 a b=9 \Rightarrow 13+2 a b=9 \Rightarrow a b=-2 \\
& \text { +) }\left(a^2+b^2\right)(a+b)=a^3+b^3+a b(a+b) \Rightarrow a^3+b^3=13 \cdot(-3)-(-2) \cdot(-3)=-45 \\
& \text { Nên } E=a^5+b^5=\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)-a^2 b^2(a+b)=13 \cdot(-45)-4 \cdot(-3)=-573
\end{aligned}
$

Bài 7: Dư nếu có khi chia đa thức $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ cho $2 x^2-x-6$ là $a x+b$
$
P(x)=\left(2 x^2-x-6\right) \cdot q(x)+a x+b=-(x+2)(3-2 x) \cdot q(x)+a x+b
$
Theo bài ra: $\left\{\begin{array}{l}P\left(\frac{3}{2}\right)=5 \\ \mathrm{P}(-2)=12\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2} a+b=5 \\ -2 a+b=12\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3 a+2 b=10 \\ -4 a+2 b=24\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-2 \\ b=8\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Bài 8. Gọi tổ số sản phẩm ban đầu là x.

Số sản phẩm bán được trong ngày thứ nhất là: $8+\frac{1}{8}(x-8)=7+\frac{x}{8}$
Số sản phẩm bán được trong ngày thứ hai là: $16+\frac{1}{8}\left[\frac{7}{8}(x-8)-16\right] =\frac{105}{8}+\frac{7 x}{64}$
Vì số sản phẩm bán được mỗi ngày như nhau nên ta có:
$
\frac{105}{8}+\frac{7 x}{64}=7+\frac{x}{8} \Leftrightarrow \frac{x}{64}=\frac{49}{8} \Leftrightarrow x=392(\mathrm{sp})
$
Ngày thứ nhất bán được: $7+\frac{392}{8}=7+49=56(\mathrm{sp})$
Thời gian bán hết lô hàng: $\frac{392}{56}=7$ (ngày)

Bài 9. Vẽ phân giác CD. Khi đó ta có các tam giác $A C D$ và $B C D$ cân.
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có
$
\begin{aligned}
& \frac{D A}{D B}=\frac{A C}{B C} \Rightarrow \frac{D A}{A B}=\frac{A C}{B C+A C} \Leftrightarrow B C(B C+A B)=A B^2 ;(D A=B C ; A B=A C \\
& B C^2+B C \cdot A B=A B^2 \Leftrightarrow(2 B C+A B)^2=5 A B^2 \Leftrightarrow B C=\frac{A B(\sqrt{5}-1)}{2}=\sqrt{5}-1
\end{aligned}
$

Bài 10.
Theo bài ra ta có: $\mathrm{AB} . \mathrm{BC}=48 ;$ (1)
$\mathrm{AB} . \mathrm{BE}=16 ;(2)$
$\mathrm{AD} . \mathrm{DF}=4 ;(3)$
Từ (1) và (2) suy ra $B E=\frac{1}{3} B C \Rightarrow C E=\frac{2}{3} B C ;$ (4)
Từ (1) và (3) suy ra $D F=\frac{1}{12} D C \Rightarrow C F=\frac{11}{12} D C$; (5)
Từ (4); (5) $C E \cdot C F=\frac{2}{3} \cdot B C \cdot \frac{11}{12} D C=\frac{2}{3} \cdot \frac{11}{12} \cdot B C \cdot D C=\frac{2}{3} \cdot \frac{11}{12} \cdot 48=\frac{88}{3} \Rightarrow S_{C E F}=\frac{44}{3}$
Vậy $S_{A E F}=48-\left(2+8+\frac{44}{3}\right)=\frac{144}{3}-\frac{74}{3}=\frac{70}{3}$
Phần trình bày bài vào bài làm: (10đ)
ĐK: $x \geq 1$ hoặc $x \leq 0$. Ta có
$
\begin{aligned}
& (2 x-1)^2-9=4 \sqrt{x^2-x} \Leftrightarrow 4\left(x^2-x\right)-4 \sqrt{x^2-x}+1=9 \\
& \Leftrightarrow\left(2 \sqrt{x^2-x}-1\right)^2=9 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ 2 \sqrt { x ^ { 2 } – x } – 1 = 3 } \\
{ 2 \sqrt { x ^ { 2 } – x } – 1 = – 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\sqrt{x^2-x}=2(1) \\
\sqrt{x^2-x}=-1(2)
\end{array}\right.\right.
\end{aligned}
$
Ta thấy (2) vô nghiệm.

$
\begin{aligned}
& \text { (1) } \Leftrightarrow \sqrt{x^2-x}=2 \Leftrightarrow x^2-x=4 \Leftrightarrow 4 x^2-4 x+1=17 \Leftrightarrow(2 x-1)^2=17 \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ 2 x – 1 = \sqrt { 1 7 } } \\
{ 2 x – 1 = – \sqrt { 1 7 } }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=\frac{1+\sqrt{17}}{2} \\
x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}
\end{array}\right.\right. \\
&
\end{aligned}
$
Đối chiếu với ĐK thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn
Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2} ; x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
Vì $25(x+y)=7\left(x^2+y^2\right) \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 0$ (1)
Mặt khác $50(x+y)=7.2\left(x^2+y^2\right) \geq 7 .(x+y)^2 \Rightarrow x+y \leq \frac{50}{7}<8(2)$
Để ý rằng $25(\mathrm{x}+\mathrm{y})$ chia hết cho 7 mà $(7 ; 25)=1$ nên $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ chia hết cho 7 nên từ (1) và (2) suy ra $x+y=0$ hoặc $x+y=7$
TH1 $x+y=0$ suy ya $x^2+y^2=0$ tìm được $(x ; y)=(0 ; 0)$
$\mathrm{TH} 2 . x+y=7$ suy ra $x^2+y^2=25$ tìm được $(x ; y)=(3 ; 4),(4 ; 3)$
IK là đường trung bình của tam giác $\mathrm{ABH}$.
Suy ra $I K / /=\frac{1}{2} A B \Rightarrow I K \perp B C$
Suy ra $\mathrm{K}$ là trực tâm của tam giác $\mathrm{BCI}$ nên $\mathrm{CK} \perp \mathrm{BI}$
Gọi $\mathrm{N}$ là giao điểm của $\mathrm{IF}$ và $\mathrm{BC} ; \mathrm{O}$ là giao điểm của $\mathrm{EF}$ và $\mathrm{AC}$.
Chứng minh được: $\mathrm{OE}=\mathrm{OF}$ và $\mathrm{EF} / / \mathrm{BC}$
Vì: $\mathrm{OE} / / \mathrm{CM}$ và $\mathrm{OF} / / \mathrm{CN}$ nên ta có: $\frac{O E}{C M}=\frac{I O}{I C}=\frac{F O}{C N}$
mà $\mathrm{OE}=\mathrm{OF}$ nên $\mathrm{CM}=\mathrm{CN} . \Rightarrow \triangle F C M=\triangle F C N(c-g-c) \Rightarrow C F M=C F N$
$\Rightarrow \mathrm{FC}$ là phân giác của $M F N$
Mà $\mathrm{FE} \perp \mathrm{FC} ; M F I$ kề bù với $M F N \Rightarrow \mathrm{FE}$ là phân giác của $M F I$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+4}=a \\ \sqrt{2 y+4}=b ; a, b, c \geq 2 \\ \sqrt{3 z+4}=c\end{array} \quad(\right.$ Do $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} \geq 0)$
Suy ra:
$
a^2+b^2+c^2=x+4+2 y+4+3 z+4=(x+y+z)+12+(y+2 z) \geq 24
$
Và $\mathrm{F}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}>0$
Do a,b,c $\geq 2$ nên:

$
\begin{aligned}
& (a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(c-2)(a-2) \geq 0 \\
& \Leftrightarrow a b+b c+c a-4(a+b+c)+12 \geq 0 \\
& \Leftrightarrow a b+b c+c a \geq 4(a+b+c)-12=4 F-12
\end{aligned}
$
Lại có
$
\begin{aligned}
& F^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a) \geq 24+2(4 F-12) \geq 8 F \\
& \Leftrightarrow F(F-8) \geq 0 \Leftrightarrow F \geq 8 \\
& (\text { do F }>0) \\
& \text { Dấu “=” xảy ra khi }\left\{\begin{array}{l}
y+2 z=0 \\
(a-2)(b-2)+(\mathrm{b}-2)(\mathrm{c}-2)+(\mathrm{c}-2)(\mathrm{a}-2)=0
\end{array}\right. \\
& \text { Khi đó } \mathrm{y}=\mathrm{z}=0, \mathrm{x}=12 \\
& \text { Vậy GTNN của } \mathrm{F}=8 \mathrm{khi} \mathrm{x}=12 ; \mathrm{y}=\mathrm{z}=0
\end{aligned}
$

Đủ 10 comment mình chia sẻ file word