File word Đề thi HSG Toán 9 Huyện Lương Sơn – Năm học 2022 – 2023
File word Đề thi HSG Toán 9 Huyện Lương Sơn – Năm học 2022 – 2023
Câu 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng biểu thức $\mathrm{M}=\frac{x^5}{30}-\frac{x^3}{6}+\frac{2 x}{15}$ luôn nhận giá trị nguyên với mọi $x \in \mathrm{Z}$
Câu2: (4,0 điểm)
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2+2 y^2+2 x y+3 y-4=0$
2) Biết rằng $\mathrm{x}, \mathrm{y}>0$ thoả mãn: $\frac{x}{2}+\frac{8}{y} \leq 2$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{y}+\frac{2 y}{x}$
3) Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c+\sqrt{a b c}=4$ Tính giá trị của biểu thức:
$
A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{a b c}
$
Câu3: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: $2\left(\mathrm{x}^2+2\right)=5 \sqrt{x^3+1}$
Câu4: (2,0 điềm) Có hai can đựng dầu, can thứ nhất đang chứa 48 lít và can thứ hai đang chứa 32 lit. Nếu rót từ can thứ nhất sang cho đầy can thứ hai thì lượng dầu trong can thứ nhất chi còn lại một nửa thể tích của nó. Nếu rót từ can thứ hai sang cho đầy can thứ nhất thì lượng dầu trong can thứ hai chỉ còn lại một phần ba thể tích của nó. Tỉnh thể tích của mỗi can.
Câu 5: (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng: $n^2+7 n+2014$ không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên $n$.
2) Cho $x+\frac{1}{x}=4$. Tính giá trị của biểu thức: $Q=x^4-5 x^3+7 x^2-9 x+2025$
Câu 6: (3,0 điểm) Cho đường thẳng $\mathrm{y}=(\mathrm{m}-2) \mathrm{x}-2 \mathrm{~m}+1 \quad$ (d)
1) Chứng minh rằng đường thẳng $\mathrm{d}$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của $\mathrm{m}$
2) Tìm $\mathrm{m}$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\mathrm{d}$ có giá trị lớn nhất
3) Tìm $m$ đề đường thẳng $\mathrm{d}$ tạo với các trụic tọa độ tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{2}$
Câu 7: (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng $\mathrm{AB}$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $\mathrm{AB}$, vẽ nửa đường tròn $(\mathrm{O})$ đường kính $\mathrm{AB}$ và các tiếp tuyến $\mathrm{Ax}, \mathrm{By}$. Qua điểm $\mathrm{M}$ thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến cắt $\mathrm{Ax}, \mathrm{By}$ theo thứ tự tại $\mathrm{C}$ và $\mathrm{D}$. Gọi $\mathrm{N}$ là giao điểm của $\mathrm{AD}$ và $\mathrm{BC}$.
a) Chứng minh rằng: $\mathrm{MN}$ vuông góc với $\mathrm{AB}$
b) Gọi $\mathrm{E}$ là giao điểm của $\mathrm{BM}$ và $\mathrm{Ax}$. Chứng minh rằng: $\mathrm{AC}=\mathrm{CE}$
c) Gọi $K$ là giao điểm của $A D$ và đường tròn $(O)$.
Chứng minh rằng: $\mathrm{BM} \cdot \mathrm{BE}=\mathrm{AK} . \mathrm{AD}$
