File Word Đề thi HSG Toán 9 Huyện Tân Kỳ – Năm Học 2022 – 2023

Hình ảnh Đề thi HSG Toán 9 Huyện Tân Kỳ – Năm Học 2022 – 2023

Table of Contents

Nội dung Đề thi HSG Toán 9 Huyện Tân Kỳ – Năm Học 2022 – 2023

Câu 1( 4,5 điểm)

Cho $A(n)=\frac{4 n+\sqrt{4 n^3-1}}{\sqrt{2 n+1}+\sqrt{2 n-1}}$ với $n$ nguyên dương. Tính $A(1)+A(2)+\ldots+A(40)=\frac{3}{3}=\frac{3+b}{2}$
Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên $k$ sao cho $\sqrt{k^2-p k}$ là số nguyên dương ?
Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình: $\left(x^2-3\right)\left(x^2-7\right)\left(x^2-15\right)\left(x^2-19\right)=-351 \quad x=\pm 4$.

Câu 2( 3,5 điĉ̉m)

Giải phương trình sau: $2 \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}+x^2-4=\frac{2}{\sqrt{x^2+1}} \quad x=\pm \sqrt{3}$
Cho đa thức $P(x)=(x-5)(x+m+1)+2$. Tỉm só́ nguyên $m$ đế $P(x)$ viết được dưởi dạng $(x+b)(x+c)$, trong đó b,c $\in Z$. $m=-3 ; m .9$

Câu 3 (3,0 điểm)

Cho x, y, z là ba só thuộc đoạn [0 ; 1] có tỏng bẳng 2 . Tìm giả trị lớn nhất của biểu thức: $\mathrm{P}=\frac{1}{\mathrm{xy}+1}+\frac{1}{\mathrm{yz}+1}+\frac{1}{\mathrm{xz}+1}$
Cho a,b,c là ba số thực dương có tich bằng 1 . Chứng minh rằng:

$a^4+b^4+c^4+a+b+c+\frac{2 a}{b^2+c^2}+\frac{2 b}{a^2+c^2}+\frac{2 c}{b^2+a^2} \geq 9$

Câu 4 (7,0 điểm)

1) Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ nhọn, các đường cao $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ cá́t nhau tại $\mathrm{H}$.

Trên đoạn $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ lần lượt lấy điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ sao cho $\mathrm{AM} \perp \mathrm{MC}$ và $\mathrm{AM}=$ AN. Chứng minh: $\mathrm{AN} \perp \mathrm{NB}$.
Chứng minh: $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BC}}+\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AC}}+\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AB}} \geq \sqrt{3}$.

2) Cho tam giác ABC, có góc $A<45^{\circ}$, góc $B<45^{\circ}$.

Chứng minh rằng: $\mathrm{AC}^2 \sin 2 \mathrm{~A}+\mathrm{BC}^2 \sin 2 \mathrm{~B}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{ABC}}$.

Read: Tìm ƯCLN (a,b) trong Pascal

Câu 5(2,0 điểm)

Nối một điểm $\mathrm{M}$ nằm trong một lục giác đều có cạnh là 1 với các đỉnh của lục giác đó, ta được sáu tam giác. Chứng minh rằng trong sáu tam giác ấy tồn tại hai tam giác mà mỗi cạnh không nhỏ hơn 1.