File Word Đề thi HSG Toán 9 – Huyện Thanh Trì – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Huyện Thanh Trì – Năm học 2022 – 2023
Bài 1 (4 điểm).
Cho biều thức: $A=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{x-\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}-x}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{x-5}{x-\sqrt{x}-2}\right)$ vói $x>0 ; x \neq 4$
1. Rút gọn biểu thức $\mathrm{A}$.
2. Tinh giá trị biều thức $A$ biết:
$
x=\left(n^{11}+n^{10}-n^9+1\right)^{2022}+\frac{\left(n^2+n-4\right)^{2022}}{n^{15}+n^{24}-n^{13}+3^{2022}} \text { khi } n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
$
Bài 2 (4 điểm)
1. Giải phương trình:
$
\frac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}}+\frac{1}{8-4 \sqrt{4-x^2}}=1
$
2. Cho cảc sồ dương $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ thỏa mān: $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=1$
Chứng minh rằng:
$
\frac{1}{2+4 a}+\frac{1}{3+9 b}+\frac{1}{6+36 c} \geq \frac{1}{2}
$
Bài 3 ( 5 điểm)
1. Tỉm các cặp số nguyên $x, y$ thỏa mãn: $5 x^2+2 y^2 \leq 2 x y+4 x+2 y$
2. Tim tất cà số nguyên tố $\mathrm{p}$ có dạng $\mathrm{p}=\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2$ với $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\left(\mathrm{a}^4+\mathrm{b}^4+\mathrm{c}^4\right)$ chia hết cho $\mathrm{p}$.
Bài 4(6 điểm)
Cho hinh vuông MNPQ. Gọi $\mathrm{A}$ là điềm bắt ki trên cạnh $\mathrm{PQ}$ (điểm $\mathrm{A}$ không trùng vởi hai điểm $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ). Đường thẳng $\mathrm{MA}$ cắt đường thẳng NP tại điểm $\mathrm{B}$. Qua $\mathrm{M}$ vẽ đường thẳng vuông góc với $\mathrm{MA}$, cắt đường thẳng $\mathrm{PQ}$ tại $\mathrm{C}$.
1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{M A^2}+\frac{1}{M B^2}$ không đồi.
2. Gọi $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ lần lượt là hinh chiếu của $\mathrm{Q}$ trên $M A, M C$. $F$ là tưng diểm $A C .1$ là giao điểm của $\mathrm{MF}$ và $\mathrm{DE}$. Chửg minh rằng: $\frac{1}{\mathrm{MI}}=\frac{1}{\mathrm{QA}}+\frac{1}{\mathrm{QC}}$.
3. Chứng minh rằng: $\cos A C M=\sin A C B \cdot \cos A B C+\sin A B C \cdot \cos A C B$
Bài 5(1 điểm)
Bên trong hỉnh vuông có cạnh bằng $\mathrm{I}$ lằy $\mathrm{n}$ điểm phân biệt. Chưng minh rằng tồn tại một tam giác có đinh là đinh của hinh vuông hoặc n điểm đó sao cho diện tích $\mathrm{S}$ của nó thỏa mãn bất đẳng thức: $\mathrm{S} \leq \frac{1}{2(n+1)}$.
