File Word Đề thi HSG Toán 9 – Lâm Đồng – Năm học 2022 – 2023

Hôm nay ngày 3/3 Lâm Đồng tổ chức kì thi chọn HSG cấp tỉnh, cuộc thi được chia thành hai điểm thi tại Đà Lạt và Bảo Lộc, mình sẽ cập nhật đề thi cũng như hướng dẫn giải sớm nhất.

Câu 1. (4,0 điểm)

1.1. Tính giá trị biểu thức $P=\left(x^{3}-6 x-5\right)^{2023}$ tại $x=\sqrt[3] {2}+\sqrt[3] {4}$.

1.2. An mua một chiếc laptop cũ đã qua sử dụng 1 năm tại cửa hàng $X$ với số tiền là 29,6 triệu đồng. Sau khi sử dưng được thêm 3 năm nữa, An mang chiếc laptop đó ra cửa hàng $\mathrm{X}$ để bán, cửa hàng mua lại với số tiền 17 triệu đồng. An thắc mắc về sự chênh lệch nhiều giữa giá mua và giá bán nên được nhân viên cửa hàng giải thích về mối liên hệ giữa giá tiền của một chiếc laptop với thời gian sử dụng biểu thị dưới dạng một hàm số $y=a x+b$ ( $x$ là số năm sử dụng, $y$ là giá tiền). Hãy tính giá tiền ban đầu của chiếc laptop nêu trên khi chưa qua sử dụng.

Câu 2. (4,0 điểm)

2.1. Hường ứng phong trào viết thư gửi các bạn thiếu nhi tại huyện đảo Trường Sa nhân dịp Tết Nguyên đán, hai bạn Lâm và Đồng mua số tờ giấy trắng bằng nhau và mua số phong bì bằng nhau. Lâm sử dụng một tờ giấy cho mỗi bức thư trong khi đó Đồng sử dụng ba tờ giấy cho mỗi bức thư. Biết rằng, Lâm dùng hết số phong bì đã mua còn dư 10 tờ giấy, Đồng dùng hết số giấy đã mua còn dư 10 phong bì. Tìm số tờ giấy mỗi bạn đã mua.

2.2. Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số mà hiệu bình phương của số đó với bình phương của số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Tìm số nhà của bạn Bình.

Câu 3. (4,5 điểm)

3.1. Một bức tường trang trí có hình dạng là một tam giác đều được ghép bởi 36 tam giác đều bằng nhau, mỗi tam giác đều đó có cạnh là 2 mét (minh họa bới hình bên). Hãy tính diện tích của phần sơn trang trí (phần tô đậm).

3.2. Giải phương trình: $(\sqrt{x+6}-\sqrt{x-3})\left(1+\sqrt{x^{2}+3 x-18}\right)=9$.

Câu 4. (4,5 điểm)

4.1. Cho $\triangle A B C$ vuồng tại $A(A B<A C)$, lấy điểm $D$ thuộc cạnh $A C$ sao cho $A D=A B$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A C$ cắt $B C$ tại $E$. Chứng minh $\frac{1}{B E^{2}}+\frac{1}{B C^{2}}=\frac{1}{A B^{2}}$.

4.2. Cho tứ giác $A B C D$ có $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B D$ và $A C$. Đường thẳng $M N$ cắt $A D$ và $B C$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $A E \cdot B F=D E . C F$.

Câu 5. (3,0 điểm)

5.1. Một cửa hàng bán giày thể thao mỗi tuần bán được 50 đôi giày với giá là 500 nghìn đồng một đôi. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi đôi 1 nghìn đồng thì số giày mỗi tuần bán tăng thêm được 1 đôi. Xác định giá bán để mỗi tuần cửa hàng giày thể thao thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi đôi giày thể thao là 300 nghìn đồng.

5.2. Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $B C$ và một điểm $A$ cố định trên $B C$. Vẽ tiếp tuyến $x y$ tại $C$ và trên $x y$ lấy điểm $H$ di động. Vẽ đường tròn $(H ; H A)$ cắt đường $(O)$ tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng đường thẳng $D E$ luôn đi qua một điểm cố định.

Đợi Word và chỉnh sửa xong mình chia sẻ file 

Hướng dẫn giải

Câu 1.1: Tính x³ sau đó thay vào tính được P = 1²⁰²³ = 1.

Câu 1.2:

Giá tiền của một chiếc laptop với thời gian sử dụng biểu thị dưới dạng một hàm số $y=a x+b$ ( $x$ là số năm sử dụng, $y$ là giá tiền).

Nên laptop khi mua đã qua sử dụng 1 năm có giá là 29,6 =>  a + b = 29,6

laptop sau khi sử dụng thêm 3 năm nữa (tổng 4 năm sử dụng) có giá là 17 => 4a + b = 17

Ta có HPT $\left\{ \begin{align}& a+b=29,6 \\& 4a+b=17 \\\end{align} \right.$

Giải ra tìm được $\left\{ \begin{align}& a=-4,2 \\& b=33,8 \\\end{align} \right.$

Vậy hàm số: $y=-4,2x+33,8$

Giá tiền ban đầu của chiếc laptop là: $y=-4,2.0+33,8=33,8$ (triệu đồng).

2.1. Gọi số tờ giấy và số phong bì mỗi bạn đã mua lần lượt là x, y (x, y là số tự nhiên, x, y > 10)

Vì Lâm sử dụng một tờ giấy cho mỗi bức thư và dùng hết số phong bì đã mua còn dư 10 tờ giấy nên: x – y = 10.

Vì Đồng sử dụng ba tờ giấy cho mỗi bức thư và dùng hết số giấy đã mua còn dư 10 phong bì nên: y – 3x = 10.

Ta có HPT
$\left\{ \matrix{
x – y = 10 \hfill \cr
y – {x \over 3} = 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 30 \hfill \cr
y = 20 \hfill \cr} \right.$ (TM)

Vậy mỗi bạn đã mua 30 tờ giấy.

2.2. Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số mà hiệu bình phương của số đó với bình phương của số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Tìm số nhà của bạn Bình.

Gọi số nhà bạn Bình là $\overline{ab}$ ($a,b\in N,0<a\le 9,0\le b\le 9$)

Theo bài ta có: ${{\left( \overline{ab} \right)}^{2}}-{{\left( \overline{ba} \right)}^{2}}$ là số chính phương.

${{\left( \overline{ab} \right)}^{2}}-{{\left( \overline{ba} \right)}^{2}}=\left( \overline{ab}-\overline{ba} \right)\left( \overline{ab}+\overline{ba} \right)=\left( 9a-9b \right)\left( 11a+11b \right)=9.11\left( a-b \right)\left( a+b \right)$

${{\left( \overline{ab} \right)}^{2}}-{{\left( \overline{ba} \right)}^{2}}$ là số chính phương nên $11\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ là số chính phương và $a\ge b$

TH1: a = b đúng (vì 0 cũng là số chính phương

TH2: a khác b

Mà $a,b\in N,0<a\le 9,0\le b\le 9$ nên $a-b\le 9$ nên a + b phải chia hết cho 11 => $a+b=11$.

Khi đó: $11\left( a-b \right)\left( a+b \right)={{11}^{2}}\left( a-b \right)$ là số chính phương, nên $\left( a-b \right)$ là số chính phương kết hợp với điều kiện của a, b suy ra $\left( a-b \right)\in \left\{ 0,1,4,9 \right\}$

Giải các trường hợp ta được a = 6 và b = 5.

Vậy có các đáp án: 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Trong thực tế thì số nhà chỉ có 1, vì vậy có lẽ đề bài nên là “Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số khác nhau…”

3.1. Một bức tường trang trí có hình dạng là một tam giác đều được ghép bởi 36 tam giác đều bằng nhau, mỗi tam giác đều đó có cạnh là 2 mét (minh họa bới hình bên). Hãy tính diện tích của phần sơn trang trí (phần tô đậm).

Diện tích tam giác đều nhỏ: $\frac{1}{2}\sqrt{3}.2=\sqrt{3}$ (m²)

Diện tích bức tường tam giác đều: $36\sqrt{3}$ (m²)

Tính diện tích các tam giác ABM, ANC, BCP từ đó tính được diện tích tam giác ABC.

Bài này ngoài cách giải dựa vào tỉ số diện tích ta có thể giải theo kĩ thuật của bài 7 trong

Đề thi học bổng lớp 6 ngôi sao Hà Nội 

3.2. Giải phương trình: $(\sqrt{x+6}-\sqrt{x-3})\left(1+\sqrt{x^{2}+3 x-18}\right)=9$.

Điều kiện: $x\ge 3$

Đặt $\left\{ \begin{align}& \sqrt{x+6}=a \\& \sqrt{x-3}=b \\\end{align} \right.$ ta được $\left\{ \begin{align}& \left( a-b \right)\left( 1+ab \right)=9 \\& {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=9 \\\end{align} \right.$

=> $\left( a-b \right)\left( 1+ab-a-b \right)=0\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0$

Từ đó chia trường hợp giải tiếp.

4.1. Cho $\triangle A B C$ vuông tại $A(A B<A C)$, lấy điểm $D$ thuộc cạnh AC sao cho $A D=A B$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại $E$. Chứng minh $\frac{1}{B E^{2}}+\frac{1}{B C^{2}}=\frac{1}{A B^{2}}$.

Kẻ thêm các đường phụ như trong hình bên.

Chứng minh ABHD là hình vuông =>BH = AB (1)

Chứng minh $\Delta ABC=\Delta BEF(g-c-g)$=> BC = BF(2)

Tam giác BEF vuông tại B đường cao BH có: $\frac{1}{B{{E}^{2}}}+\frac{1}{B{{F}^{2}}}=\frac{1}{B{{H}^{2}}}$(3)

Từ 1, 2, 3 suy ra đpcm.

4.2. Cho tứ giác ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Đường thẳng MN cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh AE.BF = DE.CF

Kẻ AG và CH cùng song song với BD; G, H thuộc đường thẳng MN.

Ta có: $\Delta ANG=\Delta CNH\Rightarrow GA=CH$

Lần lượt chứng minh: $\frac{ED}{EA}=\frac{DM}{GA}=\frac{MB}{CH}=\frac{BF}{CF}\Rightarrow AE.BF=ED.CF$

5.1. Một cửa hàng bán giày thể thao mỗi tuần bán được 50 đôi giày với giá là 500 nghìn đồng một đôi. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi đôi 1 nghìn đồng thì số giày mỗi tuần bán tăng thêm được 1 đôi. Xác định giá bán để mỗi tuần cửa hàng giày thể thao thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi đôi giày thể thao là 300 nghìn đồng.

Gọi số tiền giảm giá cho mỗi đôi giày là x (nghìn đồng) (x > 0)

Lợi nhuận thu được trong 1 tuần là: $\left( 500-x-300 \right)\left( 50+x \right)=\left( 200-x \right)\left( 50+x \right)\le {{\left( \frac{200-x+50+x}{2} \right)}^{2}}=125$.Dấu “=” xảy ra khi $200-x=50+x\Leftrightarrow x=75$

Vậy giá bán là 425 nghìn đồng thì lợi nhuận cao nhất.

5.2. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A cố định trên BC. Vẽ tiếp tuyến xy tại  và trên xy lấy điểm H di động. Vẽ đường tròn (H; HA)  cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Vẽ thêm hình như trên dựa vào phương tích chứng minh AI không đổi => DE luôn đi qua điểm I cố định.