File Word Đề thi HSG Toán 9 – Quận Đống Đa – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Quận Đống Đa – Năm học 2022 – 2023
Bài 1 (5 điểm). Cho biểu thức $P=\frac{x^2-8 \sqrt{x}}{x+2 \sqrt{x}+4}+\frac{x^2+8 \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}+4} \quad($ với $x \geq 0$ )
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tính giá trị của $P$ biết $x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}$.
Bài 2 (4 điểm).
a) Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $0 \leq a, b, c \leq 2 v a ̀ ~ a+b+c=3$.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$.
b) Tìm $n$ là số tự nhiên sao cho $2^n-1$ chia hết cho 7 .
Bài 3 (4 điểm).
a) Giải phương trình: $\sqrt{x+8}-\sqrt{5 x+20}+2=0$.
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $3 x^2+y^2=2(x y+4)$.
Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$, đường cao $\mathrm{AH}$.
a) Biết $\mathrm{BC}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{BH}=2 \mathrm{~cm}$. Tính độ dài các đoạn thẳng $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}, \mathrm{AH}$.
b) Trên cạnh $\mathrm{AC}$ lấy điểm $\mathrm{K}$ tùy $\dot{y}(\mathrm{~K} \neq \mathrm{A}, \mathrm{K} \neq \mathrm{C})$, gọi $\mathrm{D}$ là hình chiếu của $\mathrm{A}$ trên $\mathrm{BK}$.
Chứng minh rằng: $S_{B H D}=\frac{1}{4} S_{B K C} \cos ^2 \widehat{A B D}$.
c) Gọi $\mathrm{M}$ là trung điểm của $\mathrm{BC}$. Chứng minh rằng $(\sin \widehat{A C B}+\cos \widehat{A C B})^2=1+\sin \widehat{A M B}$.
Bài 5 (2 điểm). Trên bảng viết 100 phân số $\frac{1}{100} ; \frac{2}{100} ; \frac{3}{100} ; \ldots ; \frac{100}{100}$. Ta thực hiện trò chơi nhu sau: tại mỗi bước, xóa đi hai số $a, b$ bất kì trên bảng, nhưng lại viết thêm số $(a-b+a b)$. Sau một số lần thực hiện quy tắc trên thì trên bảng còn lại đúng một số, chứng minh rằng đó là số tự nhiên.
