File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Gia Lai – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Gia Lai – Năm học 2022 – 2023
Câu 1(5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=1+\frac{1}{k(k+1)}($ Với $k>0)$.
Từ đó hãy tinh giá trị biểu thức:
$
S=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2022^2}+\frac{1}{2023^2}}+\frac{1}{2023} .
$
b) Tìm tất cả các cặp sổ $(x ; y)$ nguyên thỏa mãn: $x^2-x y+x+y+5=0$.
Câu 2(4,0 điểm).
a) Cho hàm số $y=\left(m^2-m+2\right) x+2 m-8$ có đồ thị là đường thẳng $d$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho diện tích tam giác $O A B$ bằng 2 ( với $O$ là gốc tọa độ ).
b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thử nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vò̀ thứ hai cháy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vò̀i thứ nhẩt chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vỏi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thi số nước đã chảy vào bằng $\frac{8}{9}$ bồn. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ?
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho $x=1+\sqrt[3] {3}+\sqrt[3] {9}$. Chứng tỏ $x^3-3 x^2-6 x+21$ là số chia hết cho 5 .
Câu 4(5,0 điểm).
Cho đường tròn $(O)$ đường kinh $B C=2 R$ và điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ (điểm $A$ không trùng vởi $B, C$ ). Đưởng phân giác trong góc $A$ của tam giảc $A B C$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$. Hạ $A H$ vuông góc với $B C$.
a) Chứng minh rằng khi $A$ thay đổi, tổng $A H^2+K H^2$ luôn không đổi. Tỉnh góc $B$ của tam giác $A B C$ biết $A H=\frac{\sqrt{3}}{2} R$.
b) Đặt $A H=x$. Tìm $x$ sao cho diện tích tam giác $O A H$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5(2,0 điểm).
Cho $\triangle A B C$ vuông tại $A$ biết $A B=3, A C=4$ và $A H$ lả đường cao. Gọi $I \in A B$ sao cho $A I=2 B I, C I$ cắt $A H$ tại $E$. Tỉnh $\mathrm{CE}$.
Câu 6(2,0 điểm).
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$
\sqrt{\frac{\left(a^2+b c\right)(b+c)}{a\left(b^2+c^2\right)}}+\sqrt{\frac{\left(b^2+c a\right)(c+a)}{b\left(c^2+a^2\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c^2+a b\right)(a+b)}{c\left(a^2+b^2\right)}} \geq 3 \sqrt{2} .
$
