File Word đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Gia Lai – Năm học 2022 – 2023

File Word đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Gia Lai – Năm học 2022 – 2023

GIA LAI
NĂM HQC 2022 – 2023
(Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao dề)
Họ và tên thi sinh:
Ngày thi: 14/02/2023
Cîu 1 (5,0 diểm).
a) Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=1+\frac{1}{k(k+1)}($ Với $k>0)$.
Từ đô hãy tính giá trị biếu thức:
$
S=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2022^2}+\frac{1}{2023^2}}+\frac{1}{2023} .
$
b) Tìm tất cả các cặp số $(x, y)$ nguyên thỏa mãn: $x^2-x y+x+y+5=0$.
Câu $2(4,0$ điểm).
a) Cho hàm số $y=\left(m^2-m+2\right) x+2 m-8$ có đồ thì là đường thẳng $d$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thằng $d$ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho diện tích tam gilíc $O A B$ bằng 2 (với $O$ là gốc tọa độ).
b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi đù̀ng lại, sau đố cho vơi thứ hai chày tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Néu cho vời thứ nhất chày vào bồn rỗng trong 1 giờ rổi cho cả 2 vò̀ chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng $\frac{8}{9}$ bồn. Hỏi nếu mỗi vò̀ chảy riêng thì trong bao lâuu nước sẽ đầy bồn đó ?
Câu 3 (2,0 đđếm).
Cho $x=1+\sqrt[3] {3}+\sqrt[3] {9}$. Chưng tó $x^3=3 x^2-6 x+21$ là só chia hét cho 5 .
Câu 4 (5,0 điểm).
Cho đường tròn $(O)$ dường kinh $B C=2 R$ và điểm $A$ thay đồi trên $(O)$ (điểm $A$ không trùng với $B, C$ ). Đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $A B C$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$. Hạ $A H$ vuông góc với $B C$.
a) Chưng minh rằng khi $A$ thay đổi, tống $A H^2+K H^2$ luôn không đổi. Tính góc $B$ của tam giác $A B C$ biết $A H=\frac{\sqrt{3}}{2} R$.
b) Đặt $A H=x$. Tìm $x$ sao cho diện tích tam giác $O A H$ đạt giá tri lón nhất.
Câu 5 (2,0 điếm).
Cho $\triangle A B C$ vuông tại $A$ biết $A B=3, A C=4$ và $A H$ là đường cao. Gọi $I \in A B$ sao cho $A I=2 B I, C I$ cắt $A H$ tại $E$. Tính CE.
Câu 6(2,0 điểm).
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chưng minh rằng:
$
\sqrt{\frac{\left(a^2+b c\right)(b+c)}{a\left(b^2+c^2\right)}}+\sqrt{\frac{\left(b^2+c a\right)(c+a)}{b\left(c^2+a^2\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c^2+a b\right)(a+b)}{c\left(a^2+b^2\right)}} \geq 3 \sqrt{2} .
$

Sau khi chỉnh sửa lỗi mình sẽ Share file word

Hướng dẫn câu 6

Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$
\sqrt{\frac{\left(a^2+b c\right)(b+c)}{a\left(b^2+c^2\right)}}+\sqrt{\frac{\left(b^2+c a\right)(c+a)}{b\left(c^2+a^2\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c^2+a b\right)(a+b)}{c\left(a^2+b^2\right)}} \geq 3 \sqrt{2}
$
Gọi vế trái của bất đẳng thức là $\mathrm{P}$. Ta có các đồng nhất thức:
$
\begin{aligned}
& \left(a^2+b c\right)(b+c)=b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right) \\
& \left(b^2+c a\right)(c+a)=c\left(a^2+b^2\right)+a\left(b^2+c^2\right) \text { và }\left(c^2+a b\right)(a+b)=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)
\end{aligned}
$
Đặt $a\left(b^2+c^2\right)=x ; b\left(a^2+c^2\right)=y ; c\left(a^2+b^2\right)=z$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$
P=\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}}+\sqrt{\frac{x+y}{z}} \geq 36 \sqrt{\left(\frac{y+z}{x}\right)\left(\frac{z+x}{y}\right)\left(\frac{x+y}{z}\right)} \geq 3 \sqrt[6] {2^3}=3 \sqrt{2}
$
Dấu bằng khi $x=y=z$ hay $a=b=c$