File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Hà Nam – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Hà Nam – Năm học 2022 – 2023
Câu I. (3,0 điểm) Cho biểu thức
$
P=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a \sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}+\frac{a^2-a \sqrt{a}+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a \sqrt{a}} \text { với } a>0, a \neq 1 .
$
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tìm điều kiện của $a$ để biểu thức $Q=\frac{8}{P}$ nhận giá trị nguyên.
Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình $x^2-3 \sqrt{x^3-3 x^2+4 x-2}=0$.
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2+4 x-6 y-5=0 \\ \sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 y}+2 x^2+x=26\end{array}\right.$
Câu III. (2,0 điểm) Cho parabol $(P): y=\frac{1}{2} x^2$ và hai điểm $A(-2 ; 2), B(4 ; 8)$ nằm trên $(P)$. Gọi $M$ là điềm thay đồi trên $(P)$ và có hoành độ là $m(-2<m<4)$. Tìm $m$ để tam giác $A B M$ có diện tích lớn nhất.
Câu IV. (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x-2 y)(x+2 y)+4 y=x+x^3$.
Câu V. (7,0 điểm)
1. Cho đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$. Gọi $C$ là điểm thỏa mãn tam giác $A B C$ nhọn. Các đường thẳng $C A, C B$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai tương ứng là $D, E$. Trên cung $A B$ của $(O)$ không chứa $D$ lấy điểm $F(0<F A \leq F B)$. Đường thẳng $C F$ cắt $ᄂ$ $A B$ tại $M$, cắt đường tròn $(O)$ tại $N(N$ không trùng với $F)$ và cắt đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ ngoại tiếp tam giác $C D E$ tại $P$ ( $P$ không trùng với $C$ ).
a) Giả sử $\widehat{A C B}=60^{\circ}$, tính $D E$ theo $R$.
b) Chứng minh $C N . C F=C P . C M$.
c) Gọi $I, H$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $F$ trên các đường thẳng $B D, A B$. Các đường thẳng $I H$ và $C D$ cắt nhau tại $K$. Tìm vị trí của điểm $F$ để biểu thức $\frac{A B}{F H}+\frac{B D}{F I}+\frac{A D}{F K}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho góc nhọn $x O y$ cố định và $A$ là điểm cố định trên $O x$. Đường tròn $(I)$ thay đồi nhưng luôn tiếp xúc với $O x, O y$ lần lượt tại $E, D$. Gọi $A F$ là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ $A$ đến $(I)$ ( $F$ là tiếp điểm). Chứng minh $D F$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu VI. (2,0 điểm)
Cho 2 số dương $a, b$. Chứng minh: $\frac{(a+b-1)^2}{(a+b)^2+1}+\frac{(a-b+1)^2}{(a+1)^2+b^2}+\frac{(b-a+1)^2}{(b+1)^2+a^2} \geq \frac{3}{5}$.
Bản Word sẽ được update ngay khi hoàn thiện
