File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Lạng Sơn – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Lạng Sơn – Năm học 2022 – 2023
Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức
$
P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{x-\sqrt{x}-1}{x-3 \sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\frac{x-10}{x-2 \sqrt{x}-3}\right) \text {, vói } x>0 ; x \neq 9 \text {. }
$
a. Rút gọn $P$.
b. Tính giá trị của $P$ khi $x=7+4 \sqrt{3}$.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho phương trình $x^2-(2 m-3) x+m^2-2 m=0$ ( $m$ là tham số).
a. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1 ; x_2$.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{2 m^2-8 m}{x_1^2+x_2^2+1}$.
Câu 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^2+3 y^2-4 x y+4 x-4 y=0 \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{3 y-2}=4\end{array}\right.$
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ nhọn, nội tiếp $(O), A B<A C$. Phân giác trong của $\widehat{B A C}$ cắt $B C$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại điềm thứ hai $P$. Gọi $M$ là giao điểm của $O P$ và $B C ; F$ đối xứng với $D$ qua $M$. Lấy điểm $H$ nằm trên $A O$ và $E$ nằm trên $A D$ sao cho $H D ; F E$ cùng vuông góc với $B C$.
a. Chứng minh rằng $\triangle A H D$ và $\triangle P F E$ là các tam giác cân.
b. Gọi $K$ là giao điểm của $H D$ và $F P$. Chứng minh rằng tứ giác $B H C K$ nội tiếp trong một đường tròn $\left(O_1\right)$.
c. Gọi $T$ là giao điểm của $\left(O_1\right)$ và tia $D A$. Gọi $Q$ là giao điểm của $H T$ và $B C$. Chứng minh rằng $A Q$ là tiếp tuyến của $(O)$.
Câu 5 (2,0 điểm);
a. Tìm các sốnguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn:
$
3 x^2-9 y^2+4 z^2+6 y^2 z^2=243
$
b. Cho một đa giác đều có 2023 đinnh. Đảnh dấu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai chữ số 0 và 1. Chứng minh rằng luôn chọn ra được ba đỉnh của đa giác được đánh dấu giống nhau và tạo thành một tam giác cân.
Hướng dẫn giải
Câu 5 (nguồn thầy Minh Võ)
