File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Nam Định – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Nam Định – Năm học 2022 – 2023
Câu 1. (3,0 điểm)
1) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a b c}$. Chứng minh
$
\frac{b c+1}{a^2+1}+\frac{a c+1}{b^2+1}+\frac{b a+1}{c^2+1}=3
$
2) Cho đa thức $P(x)=(x+1)(x+2)(x+3) \ldots(x+2022)$. Khi khai triển đa thức $P(x)$ ta được $P(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{2021} x^{2021}+a_{2022} x^{2022}$. Tính giá trị của biểu thức
$
S=\frac{a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{2021}}{a_0+a_2+a_4+\ldots+a_{2022}}-\frac{a_0}{2\left(a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{2021}\right)}
$
Câu 2. (5,0 điểm)
1) Giải phương trình $(x+1)(3 x+\sqrt{x+1}-3)=4 \sqrt{x^3}-2$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x(y+1)+y=3 \\ \sqrt{5-2(x+y)}+\sqrt{2-x^2 y^2}=2\end{array}\right.$
Câu 3. (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ sao cho $p^4-q^2\left(p^2+q^2+1\right)=\left(q^2+1\right)^2$,
2) Cho $m, n, p, q$ là các số nguyên thoả mãn $(m+n+p+q) \vdots 30$. Chứng minh rằng
$
\left(m^5+n^5+p^5+q^5\right) \vdots 30
$
Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn $A B C$ với $A B<A C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $B H$ và $C Q$ là hai đường cao của tam giác $A B C$. Tiếp tuyến tại $B$ và tại $C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$. Đoạn thẳng $O M$ cắt $B C$ và cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $N$ và $D$. Tia $A D$ cắt $B C$ tại $F ; A M$ cắt $B C$ tại $E$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K(K$ khác $A)$.
1) Chứng minh rằng: $A B \cdot K C=A C \cdot K B$ và $\widehat{A B M}=\widehat{A H N}$.
2) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A F N$. Chứng minh $\widehat{I O M}+\widehat{A D N}=180^{\circ}$.
3) Qua $E$ kẻ đường thẳng vuông góc với $B C$ cắt $Q H$ tại $G$. Chứng minh ba điểm $A, G, N$ thẳng hàng.
Câu 5. (2,0 điểm)
1) Lấy 2018 điểm phhon biệt ở miền trong của một ngũ giác lồi cùng với 5 đỉnh của ngũ giác đó ta được 2023 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của ngũ giác là 1 đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2023 điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\frac{1}{4039}$ đơn vị.
2) Xét $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \geq 3$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$
Q=\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{a+b^2+c}+\frac{1}{a+b+c^2}
$
Xem thêm File Word đề thi HSG Toán 8 Tỉnh Nam Định – Năm Học 2022 – 2023
File Word đợi hoàn thiện sẽ chia sẻ sau
