File Word đề thi HSG Toán 9 Tỉnh Ninh Bình – Năm học 2022 – 2023

File Word đề thi HSG Toán 9 Tỉnh Ninh Bình – Năm học 2022 – 2023

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Với $a \geq 0$ và $a \neq 1$, rút gọn biểu thức $P=\frac{a+\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}-2}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}}{a+2 \sqrt{a}}$.
2. Cho phương trình $(m+1) x^3+(3 m-1) x^2-x-4 m+1=0$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
3. Cho đa thức $P(x)=(x-2)^{2023}=a_{2023} x^{2023}+a_{202} x^{2022}+\ldots+a_2 x^2+a_1 x+a_0$. Tính giá tri của biểu thức $Q=\left(a_0+a_2+a_4+\ldots+a_{2020}+a_{2022}\right)^2-\left(a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{2021}+a_{2023}\right)^2$.

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình $2 x^2+3 x-2=(2 x-1) \sqrt{2 x^2+x-3}$.
2. Giải hê̂ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+\frac{2 x y}{x+y}=1 \\ 2 x+3 y-\sqrt{x+y}=x^2\end{array}\right.$

Câu 3. (3,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số tư nhiên $x, y$ thỏa mãn $x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$.
2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa măn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{\frac{a b}{a b+3 c}}+\sqrt{\frac{b c}{b c+3 a}}+\sqrt{\frac{c a}{c a+3 b}}$.

Câu 4. (6,0 điểm)
Cho 3 diểm phân biệt cố định $A, B, C$ cùng nằm trên đường thẳng $d$ (điểm $B$ nằm giựa $A$ và $C$ ), gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$. Đường tròn tâm $O$ luôn đi qua hai điểm $B$ và $C$ (điểm $O$ không thuộc $d$ ). Kè các tiếp tuyến $A M, A N$ với đường tròn tâm $O$ ( $M, N$ là các tiếp điểm). Đường thẳng $M N$ cắt $O A$ tại điểm $H$ và cắt $B C$ tại điểm $K$.
1. Chứng minh tứ giác $O M N I$ nội tiếp và $A H \cdot O A=A N^2$.
2. Khi đường tròn tâm $O$ thay đổi, chưng minh $M N$ luôn đi quua điểm $K$ cố định.
3. Tia $A O$ cắt đường tròn tâm $O$ tại hai điểm $P, Q$ (diểm $P$ nămm giữa $A$ và $O$ ). Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $H Q$. Từ $H$ kẻ dường thẳng vuông góc với $M D$ và cắt đường thẳng $M P$ tại $E$. Chứng minh $P$ là trung điểm của $M E$.

Câu 5. (2,0 điểm)
Cho một bảng ô vuông kích thước $10 \times 10$ gồm 100 ô vuông đơn vị (cạnh bằng 1 ).
1. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một trong các sổ $-1 ; 0 ; 1$. Xét các tổng của tất cả các số dã điền trên mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo của bảng đã cho. Hỏi các tổng đó có thể nhận bao nhiêu giá trị và chưng minh trong đó có hai tổng bằng nhau.
2. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô chung cạnh hoặc chung đỉnh là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng đã cho tồn tại một số được điền it nhất 17 lần.

Hướng dẫn giải

Lời giải bởi: Văn Quyền, Thầy Phạm Văn Tuyên (câu pt vô tỉ)

Câu 1: (5,0 điểm)
1. Với $a \geq 0$ và $a \neq 1$, rút gọn biểu thức $P=P=\frac{a+\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}-2}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}}{a+2 \sqrt{a}}$
2. Cho phương trình $(m+1) x^3+(3 m-1) x^2-x-4 m+1=0$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
3. Cho đa thức $P(x)=(x-2)^{2023}=a_{2023} x^{2023}+a_{2022} x^{2022}+\cdots+a_2 x^2+a_1 x+a_0$. Tính giá trị của biểu thức $Q=\left(a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2020}+a_{2022}\right)^2-\left(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2021}+a_{2023}\right)^2$
Lời giải:
1. Vớ $i a \geq 0$ và $a \neq 1$, ta có:
$
\begin{aligned}
& P=\frac{a+\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}-2}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}}{a+2 \sqrt{a}}=\frac{a+\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)} \\
& =\frac{a+\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}=\frac{a+\sqrt{a}+1+\sqrt{a}+2+\sqrt{a}-1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)} \\
& =\frac{a+3 \sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}
\end{aligned}
$
Vậy $P=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}$
$
\text { 2) } \begin{aligned}
&(m+1) x^3+(3 m-1) x^2-x-4 m+1=0 \text { (1) } \\
& \Leftrightarrow(m+1) x^3-(m+1) x^2+4 m x^2-4 m-x+1=0 \\
& \Leftrightarrow(m+1) x^2(x-1)+4 m(x-1)(x+1)-(x-1)=0 \\
& \Leftrightarrow(x-1)\left[(m+1) x^2+4 m x+4 m-1\right] =0 \\
& \Leftrightarrow \quad x=1 \\
&(m+1) x^2+4 m x+4 m-1=0(2)
\end{aligned}
$
Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Điều kiện để pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt: $\left\{\begin{array}{c}m+1 \neq 0 \\ \Delta^{\prime}>0\end{array}\right.$
$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
m \neq-1 \\
4 m^2-(m+1)(4 m-1)>0
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
m \neq-1 \\
-3 m+1>0
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
m \neq-1 \\
m<\frac{1}{3}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$
Thay $x=1$ vào $(2)$, ta có:
$
(m+1) \cdot 1^2+4 m \cdot 1+4 m-1=0 \Leftrightarrow 9 m=0 \Leftrightarrow m=0
$

Pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{c}m \neq-1 \\ m \neq 0 \\ m<\frac{1}{3}\end{array}\right.$
Vậy $m \neq 1, m \neq 0, m<\frac{1}{3}$
$
\begin{aligned}
& \text { 3. } a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{2023}=P(1)=(1-2)^{2023}=-1 \\
& a_0-a_1+a_2+\cdots-a_{2023}=P(-1)=(-1-2)^{2023}=(-3)^{2023}=-3^{2023} \\
& \mathrm{Q}=\left(a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2020}+a_{2022}\right)^2-\left(a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2021}+a_{2023}\right)^2 \\
& =\left(a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2020}+a_{2022}+a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2023}\right)\left(a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2020}\right. \\
& \left.+a_{2022}-a_1-a_3-a_5-\cdots-a_{2021}-a_{2023}\right) \\
& =(-1) \cdot\left(-3^{2023}\right) \\
& =3^{2023} \\
&
\end{aligned}
$
Vậy $Q=3^{2023}$
Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình $2 x^2+3 x-2=(2 x-1) \sqrt{2 x^2+x-3}$
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+\frac{2 x y}{x+y}=1 \\ 2 x+3 y-\sqrt{x+y}=x^2\end{array}\right.$
Lời giải:
$
\begin{aligned}
& \text { 1.ĐK: } 2 x^2+x-3 \geq 0 \Leftrightarrow(x-1)(2 x+3) \geq 0\left[\begin{array}{c}
x \geq 1 \\
x \leq \frac{-3}{2}
\end{array}\right. \\
& 2 x^2+3 x-2=(2 x-1) \sqrt{2 x^2+x-3} \\
& \Leftrightarrow(2 x-1)(x+2)=(2 x-1) \sqrt{2 x^2+x-3} \\
& \Leftrightarrow(2 x-1)\left(x+2-\sqrt{2 x^2+x-3}\right)=0 \\
& \text { TH1: } 2 x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2} \text { (loại) } \\
& \text { TH2: } x+2=\sqrt{2 x^2+x-3} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c }
{ x \geq – 2 } \\
{ x ^ { 2 } + 4 x + 4 = 2 x ^ { 2 } + x – 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}
x \geq-2 \\
x^2-3 x-7=0
\end{array}\right.\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
x \geq-2 \\
x=\frac{3+\sqrt{37}}{2}(\mathrm{tm}) \\
x=\frac{3-\sqrt{37}}{2}(\mathrm{tm})
\end{array}\right. \\
&
\end{aligned}
$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\frac{3+\sqrt{37}}{2} ; \frac{3-\sqrt{37}}{2}\right\}$
2. $Đ \mathrm{~K} x+y>0$

$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+\frac{2 x y}{x+y}=1(1) \\
2 x+3 y-\sqrt{x+y}=x^2(2)
\end{array}\right. \\
& \text { Đặt } S=x+y, P=x y\left(S^2 \geq 4 P, S>0\right) \\
& (1) \Leftrightarrow S^2-2 P+\frac{2 P}{S}=1 \Leftrightarrow S^3-2 S P+2 P-S=0 \\
& \Leftrightarrow S(S-1)(S+1)-2 P(S-1)=0 \\
& \Leftrightarrow(S-1)\left(S^2+S-2 P\right)=0 \\
& \Leftrightarrow(x+y-1)\left(x^2+y^2+x+y\right)=0 \\
& \text { Vì } x^2 \geq 0, y^2 \geq 0, x+y>0 \text { nên } x^2+y^2+x+y>0 \\
& \rightarrow x+y=1 \rightarrow y=1-x, \text { thay vào }(2), \text { ta có: } \\
& 2 x+3-3 x-1=x^2 \Leftrightarrow x^2+x-2=0 \Leftrightarrow(x+2)(x-1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}
x=-2 \Rightarrow y=3(t m) \\
x=1 \Rightarrow y=0(t m)
\end{array}\right.
\end{aligned}
$
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm $S=\{(-2 ; 3) ;(1 ; 0)\}$

Câu 3. (3 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên $x, y$ thoả mãn $x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$
2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$
P=\sqrt{\frac{a b}{a b+3 c}}+\sqrt{\frac{b c}{b c+3 a}}+\sqrt{\frac{c a}{c a+3 b}}
$
Lời giải:
1.Đặt $S=x+y, P=x y\left(S \geq 0, P \geq 0, S^2 \geq 4 P\right)$, phương trình đã cho trở thành
$
\begin{aligned}
& S P-S^2+2 P-1=0 \Leftrightarrow S^2-S P-2 P+1=0 \Leftrightarrow S^2-4-P(S+2)=-5 \\
& \Leftrightarrow(S+2)(S-2-P)=-5 \\
& \rightarrow S+2, S-2-P \in U(-5)=\{\pm 1 ; \pm 5\} \\
& \text { Vì } S+2 \geq 2 \text { nên }\left\{\begin{array} { c }
{ S + 2 = 5 } \\
{ S – 2 – P = – 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
S=3 \\
P=2
\end{array}\right.\right. \\
& \rightarrow x, y \text { là nghiệm của pt } x^2-3 x+2=0 \Leftrightarrow(x-1)(x-2)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=1, y=2 \\
x=2, y=1
\end{array}\right.
\end{aligned}
$
Vậy $(x ; y) \in\{(1 ; 2) ;(2 ; 1)\}$
$
\begin{gathered}
\text { 2. } P=\sum \sqrt{\frac{a b}{a b+3 c}}=\sum \sqrt{\frac{a b}{a b+(a+b+c) c}}=\sum \sqrt{\frac{a b}{(c+a)(c+b)}} \leq \sum \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)=\frac{1}{2} \cdot 3=\frac{3}{2} \\
\text { (Dấu “=” xảy ra khi } a=b=c=1 \text { ) }
\end{gathered}
$

Câu 4. (6 điểm)
Cho 3 điểm phân biệt cố định $A, B, C$ cùng nằm trên đường thằng $d$ (điểm $B$ nằm giũ̃a $A$ và $C$ ), gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$. Đường tròn tâm $O$ luôn đi qua hai điểm $B$ và $C$ (điểm $O$ không thuộc $d)$. Kẻ các tiếp tuyến $A M, A N$ với đường tròn tâm $O(M, N$ là các tiếp điểm). Đường thẳng $M N$ cắt $O A$ tại điểm $H$ và cắt $B C$ tại điểm $K$

1. Chứng minh tứ giác $O M N I$ nội tiếp và $A H . O A=A N^2$
2. Khi đường tròn tâm $O$ thay đổi. Chứng $\operatorname{minh} M N$ luôn đi qua điểm $\mathrm{K}$ cố định
3. Tia $A O$ cắt đường tròn tâm $O$ tại hai điểm $P, Q$ (điểm $P$ nằm giũ̃a $A$ và $O$ ). Gọi $D$
là trung điểm của đoạn thẳng $H Q$. Từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $M D$ và cắt đường thẳng
$M P$ tại $E$. Chứng minh $P$ là trung điểm $M E$
Lời giải:
1). $\mathrm{Vì} \angle \mathrm{AMO}=\angle \mathrm{AIO}=\angle \mathrm{ANO}=90$ nên 5 điểm
$\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{I}, \mathrm{O}, \mathrm{N}$ cùng thuộc đường tròn đường kinh $\mathrm{AO}$
-> OMNI nội tiểp
Vi $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$ (tc hai tiếp tuyến cắt nhau); $\mathrm{OM}=$ $\mathrm{ON}(=\mathrm{R})$-> $\mathrm{AO}$ là đường trung trực của $\mathrm{MN}$-> $\mathrm{AO} \perp \mathrm{MN}$
Trong $\triangle \mathrm{ANO}(\angle \mathrm{ANO}=90 ; \mathrm{NH} \perp \mathrm{AO})$, ta có:
$\mathrm{AH} . \mathrm{OA}=\mathrm{AN}^2$
2) $\triangle \mathrm{AHK} \sim \triangle \mathrm{AIO}(\mathrm{g} \cdot \mathrm{g})->\mathrm{AK} \cdot \mathrm{AI}=\mathrm{AH} \cdot \mathrm{AO}=\mathrm{AM}$
$2 \rightarrow \mathrm{AK}=\frac{\mathrm{AM}^2}{\mathrm{AI}}$ (không đổi) $->\mathrm{K}$ cố định
Vậy $\mathrm{MN}$ luôn đi qua điểm $\mathrm{K}$ cố định
3) $\triangle \mathrm{MHE} \sim \triangle \mathrm{QDM}(\mathrm{g} \cdot \mathrm{g})->\frac{\mathrm{ME}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{QD}}$
$\Delta \mathrm{MHP} \sim \Delta \mathrm{QHM}($ g.g) $)>\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{QH}}$
$\rightarrow \frac{\mathrm{ME}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{QD}}=\frac{2 \mathrm{QM}}{2 \mathrm{QD}}=\frac{2 \mathrm{QM}}{\mathrm{QH}}=\frac{2 \mathrm{MP}}{\mathrm{MH}} \rightarrow \mathrm{ME}=2 \mathrm{MP}$
$\rightarrow \mathrm{E}$ là trung điểm MP

Câu 5 (2 điểm)
Cho một bảng ô vuông kích thước $10 \times 10$ gồm 100 ô vuông đơn vị (cạnh bằng 1 )
1. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một trong các số – $1 ; 0 ; 1$. Xét các tổng của tất cả các số đã điền trên mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo của bảng đã cho. Hỏi các tổng đó có thể nhận bao nhiêu giá trị và chứng minh trong đó có hai tổng bằng nhau
2. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai
ô chung cạnh hoặc chung đỉnh là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng đã cho tổn tại một số được điền ít nhất 17 lần
Lời giải:
1)
Vì bảng ô vuông kích thước $10 \times 10$ nên có 10 hàng, 10 cột, 2 đường chéo $\rightarrow$ Có 22 tổng
Mà khi điền vào mỗi ô các số $-1 ; 0 ; 1$ thì mỗi tổng nhận 1 trong 21 giá trị $-10,-9,-8, \ldots, 10$
Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất $\left[\frac{22}{21}\right] +1=2$ tổng nhận cùng 1 giá trị
Hay hai tổng đó bằng nhau

2)
Xét bảng vuông $2 \times 2$, vì các ô trong bảng vuông này đều chung cạnh hoặc chung đỉnh với các ô khác nên có tối đa 1 số chẵn, 1 số chia hết cho 3
$\rightarrow$ Trong bảng vuông $2 \times 2$ tồn tại ít nhất 2 số lẻ không chia hết cho 3
Chia bảng vuông $10 \times 10$ thành 25 bảng $2 \times 2$ thì có ít nhất 50 số lẻ không chia hết cho 3
Mà từ 1 đến 10 có 3 số lẻ không chia hết cho 3 là 1,5,7
Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại một số được điền ít nhất $\left[\frac{50}{3}\right] +1=17$ lần