File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Phú Yên – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Phú Yên – Năm học 2022 – 2023
Câu 1. (3,00 điểm) Cho biều thức: $A=\sqrt{x+\frac{3}{4}+\sqrt{x+\frac{1}{2}}}+x$.
a) Tìm điều kiện của $x$ để $A$ có nghĩa.
b) Tïnh $x$ khi $A=2$.
Câu 2.(4,00 điểm) Giài hệ phương trình:
$
\left\{\begin{array}{l}
505 x+253 y=2022 \\
x^3+3\left(x^2+y^2\right)+4 x=y^3+4 y-4
\end{array}\right.
$
Câu 3.(3,00 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $2(x+y)+4=5 x y$.
Câu 4.(3,00 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B=2 R, C$ là trung điềm của $O A, M$ là một điểm thuộc $(O)$ sao cho $M A>M B$. Đường thẳng $M C$ cắt $(O)$ tại $D(D$ khác $M)$, đường thẳng qua $D$ và vuông góe với $A B$ cắt $(O)$ tại $E(E$ khác $D)$, đường thẳng $M E$ cắt đường thằng $A B$ tại $F$.
a) Chưng minh $A F=A O$.
b) Đường thẳng qua $M$ song song với $D E$ cắt $A B$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $N$. Chứng minh rằng 3 điểm $F, D, N$ thằng hàng.
c) Trong trường hợp $E F=M C$, tính độ dài đoạn thẳng $C H$ theo $R$.
Câu 5.(5,00 điểm)
a) Cho $a, b, c$ là 3 số dương. Chứng minh rằng: $\frac{2 a b}{a+b}+\frac{2 b c}{b+c}+\frac{2 c a}{c+a} \leq a+b+c$.
b) Cho $x, y, z$ lả các số thực dương thóa mãn: $\frac{1}{\left(1+\frac{y}{x}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{z}{y}\right)^2}=\frac{1}{1+\frac{z}{x}}$.
Chứng minh rằng $x=y=z$.
Câu 6.(2,00 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, dường cao $A D$. Gọi $E, F, G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $A B D, A C D, A B C$. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $A G$ và $E F$. Chứng minh rằng $\frac{1}{H G}=\frac{1}{H A}+\frac{1}{H E}+\frac{1}{H F}$.
