File Word đề thi HSG Toán 9 Tỉnh Quảng Ngãi – Năm học 2022 – 2023
File Word đề thi HSG Toán 9 Tỉnh Quảng Ngãi – Năm học 2022 – 2023
Bài 1. (4,0 điểm)
Thời gian làm bài: 150 phút
1) Tim số nguyên tố $p$ sao cho $p+10$ và $p+14$ là các số nguyên tố.
2) Tìm tất cá các nghiệm nguyên $x, y$ của phương trình $x^2+x y-2 x-3 y-4=0$.
3) Cho ba số $a, b, c \in Z$ thoả mãn $a+b+c=2022^{2023}$. Chứng minh $a^2+b^2+c^3$ chia hết cho 6.
Bài 2. (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức: $M=\left(1-\frac{2 \sqrt{x}}{x+1}\right):\left(\frac{1}{1+\sqrt{x}}-\frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x}+\sqrt{x}+x+1}\right)$, với $x \geq 0$.
Rút gọn biếu thức $M$ và tính giá trị của biếu thức $M$ khi $x=2023-2 \sqrt{2022}$.
2) Cho ba số dương $x, y, z$ thóa mãn $x+y+z=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$.
Bài 3. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2 x \sqrt{x+1}=2 x+\sqrt{x^2+4 x+3}$.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2+x+\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{y}\right)=4 \\ x^3+\frac{x}{y^2}+\frac{x^2}{y}+\frac{1}{y^3}=4\end{array}\right.$.
Bài 4. (7,0 điểm)
1) Một học sinh có tấm bìa hình vuông $A B C D$ cạnh $20 \mathrm{~cm}$. Em muốn cắt tấm bìa này thành bốn hình tam giác vuông bằng nhau và phân còn lại là hình vuông $M N P Q$ thỏa mãn $M, N, P, Q$ lân lượt thuộc các cạnh $A B, B C, C D, D A$. Hãy xác định vị trí các điểm $M, N, P, Q$ đế diện tích hình vuông $M N P Q$ là nhỏ nhất.
2) Cho đường tròn tâm o đường kính $A B=2 R$. Điểm $M$ di động trên đoạn $O A(M$ khác $A)$, vẽ đường tròn tâm $K$ đường kính $M B$. Gọi , là trung điếm của đoạn $M A$, đường thẳng đi qua / vuông góc với $A B$ cẳt đường tròn $(0)$ tại $C$ và D. Đường thẩng $C B$ cằt đường tròn $(K)$ tại $P$.
a) Chứng minh rằng ba điếm $P, M, D$ thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng $P$ l là tiếp tuyến của đường tròn $(\mathrm{K})$.
c) Tìm vị trí của $M$ trên đoạn $O A$ đế diện tích tam giác $I P K$ lớn nhất.
Bài 5. (1,0 điểm)
Người ta làm một cái hộp hình vuông để đựng được 5 cái bánh hình tròn có đường kinh $6 \mathrm{~cm}$, sao cho không có bất kì hai cái bánh nào được chồng lên nhau. Hãy tinh cạnh nhó nhất của cái hộp.
