File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Sơn La – Năm học 2022 – 2023
File Word Đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Sơn La – Năm học 2022 – 2023
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}+1}{x \sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2 x-2 \sqrt{x}}{x^2-\sqrt{x}}+\frac{2 \sqrt{x}-x}{1-x \sqrt{x}}$ với $x>0, x \neq 1$.
b) Cho biều thức $P=\left(x^3+12 x-31\right)^{2023}$.
Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x=\sqrt[3]{16-8 \sqrt{5}}+\sqrt[3]{16+8 \sqrt{5}}$.
Trong mặt phằng tọa độ $O x y$ cho đường thằng $(d)$ có phương trình $y=2 x-a^2$ và parabol $(P)$
Câu 2 (4,0 điểm). có phurơng trinh: $y=a x^2(a>0)$.
a) Tìm $a$ đề đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điềm phân biệt $A$ và $B$. Chímg minh ràng khi đó $A$ và $B$ nằm bên phải trục tung.
b) Gọi $x_A, x_B$ là hoành độ của $A$ và $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:
$
T=\frac{4}{x_A+x_B}+\frac{1}{x_A x_B}
$
Câu 3 ( 4,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}6 x^2-3 x y+x=1-y \\ x^2+y^2=1\end{array}\right.$.
b) Cho $a, b \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng: Nếu $\left(a^2+b^2+9 a b\right) \vdots 11$ thì $\left(a^2-b^2\right) \vdots 11$.
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho $\triangle A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $B D$ và $C E$ là hai đường cao của $\triangle A B C$. Gọi $R$ là giao điểm của $B D$ với $(O)(R$ khác điểm $B), S$ là giao điểm của $C E$ với $(O)(S$ khác điểm $C$ ). Tia $A O$ cắt $B C$ tại $M$ và cắt cung nhỏ $B C$ tại $N$. Tia $B O$ cắt $A C$ tại $P$. Tia $C O$ cắt $A B$ tai $F$
a) Chứng minh: Tam giác $A D E$ đồng dạng với tam giác $A B C$.
b) Chứng minh: $D E / / S R$ và $A N$ là tia phân giác của góc $S A R$.
c) Chứng minh: $\frac{M B \cdot M C}{M A^2}+\frac{P C \cdot P A}{P B^2}+\frac{F A \cdot F B}{F C^2}=1$.
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x y z=1$. Chứng minh rằng:
$
x+y+z \geq \frac{x y+1}{y+1}+\frac{y z+1}{z+1}+\frac{z x+1}{x+1} \text {. }
$
b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp $1,2,3, \ldots, 100$. Gọi $A$ là số thu được bằng cách sắp một cách tùy ý 100 số đó thành một dãy, $B$ là số thu được bằng cách đặt một cách tùy ý các đấu cộng vào giữa các chứ số của $A$. Chứng minh rằng cả $A$ và $B$ cùng không chia hết cho 2046.
