File word đề thi HSG Toán 9 TP Hà Nội Năm học 2022 – 2023
File word hóa đề thi HSG Toán 9 TP Hà Nội Năm học 2022 – 2023
File gốc đề thi HSG Toán 9 TP Hà Nội Năm học 2022 – 2023
Nội dung đề thi HSG Toán 9 TP Hà Nội Năm học 2022 – 2023
Bài I ( 5,0 điểm )
1) Giải phương trình $\sqrt{x^2+2 x+6}+x^2=\sqrt{2 x+2}-x+3$.
2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\frac{a^2}{a^2+1}=b, \frac{8 b^2}{4 b^2+1}=c$ và $\frac{2 c^2}{c^2+1}=a$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$.
Bài II ( 5,0 điểm )
1) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ để $3 n+1$ và $12 n-11$ là các số chính phương.
2) Cho $P(x)=a_0 x^{2022}+a_1 x^{2021}+a_2 x^{2020}+\ldots+a_{2022}$ là đa thức với hệ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện $P(k)=\frac{1}{k+1}$, với $k=0,1,2, \ldots, 2022$. Tính giá trị $P(2023)$.
Bài III (2,0 điểm)
Với a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=16$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}$.
Bài IV ( 6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại $A(A B<A C)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại điểm $S$. Trên tia đối của tia CA lấy điểm $M(M$ khác $C$ ). Qua $S$ kẻ đường thẳng vuông góc với OM, cắt đường tròn $(O)$ tại hai điềm phân biệt E, F$($E nằm giữa $S$ và $F$).
a) Chứng minh đường thẳng ME là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
b) Gọi $D$ là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến đường thẳng BC. Chứng minh EC là tia phân giác của góc $\widehat{F E D}$.
c) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MD với hai đường thẳng BE và BF. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ. Chứng minh góc $\widehat{SDK}={{90}^{0}}$.
Bài V (2,0 điểm )
1) Tìm tất cả các số nguyên tố m, n, p thỏa mãn $m^2+3 n^2+5 p^2-8 m n p=0$.
2) Cho đa giác đều $A_1 A_2 \ldots A_{2023}$. Gọi $S$ là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng $A_1 A_j(1 \leq i<j \leq 2023)$ và $M$ là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm thuộc $S$. Gọi $N$ là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng $A_i A_j(1 \leq i<j \leq 2023)$. Chứng minh $M<1011^2 N$.
