File Word Đề thi HSG Toán 9 – TP Hồ Chí Minh – Năm học 2022 – 2023

File Word Đề thi HSG Toán 9 – TP Hồ Chí Minh – Năm học 2022 – 2023

Câu 1. (3 điểm) Cho hai số thực $a, b$ thỏa mẫn các điè̀ kiện $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ và $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}-\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2}$. Tình giá tri của biểu thức $P=a^4+b^4$.

Câu 2. (4 điểm) Cho phương trinh $x^3+m x^2-x+m-m^2=0\left({ }^*\right)$ với tham số $m$.
a) Chứng minh rà̀ng phương trình $\left.{ }^*\right)$ luôn có mốt nghiệm $x=1-m$ với mọi giá trị của tham số $m$.
b) Tìm tát cả các giá tri của tham số $m$ để phương trỉnh $\left(^*\right)$ có ba nghiệm phân biệt $x_1, x_2, x_3$ sao cho $x_1^2+x_2^2+x_3^2=3$.

Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác $A B C$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $A D ; A M$ là đường kính của đường tròn $(O) ; K$ là hình chiếu của $B$ lên $A M$. Gọi $E, F$ lần lưọt là trung điểm các đoạn thằng $B D$ và $C M$.
a) Chứng minh rằng $D K$ vuông góc $A C$.
b) Chứng minh rằng $A E F C$ là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A E C$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tử giác $A E F C$. Chưng minh rằng $H E=2 I O$.

Câu 4. (3 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương . Chưng minh các bắt đẳng thức dưới đây
a) $\frac{(a+1)^2}{a^2+1} \leq 2$
b) $\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2} \leq \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}$.
Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác $A B C$ có $\hat{A}=2 \hat{B}$. Chứng minh rằng $B C^2=A B \cdot A C+A C^2$.
Câu 6. (3 điểm) Tìm tất cả các số tư nhiên $x, y$ và số nguyên tố $p$ sao cho $p^x=y^4+64$.

FIle PDF kèm đáp án

Tải về file Word