File word đề thi HSG Toán 9 TP Hưng Yên – Năm học 2022 – 2023
Hình gốc đề thi HSG Toán 9 TP Hưng Yên – Năm học 2022 – 2023
Nội dung đề thi HSG Toán 9 TP Hưng Yên – Năm học 2022 – 2023
Bài 1 (4,0 điểm)
a) Cho biểu thức $A=\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+4} \cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}+3}\right)+\frac{9 \sqrt{x}+21}{x+5 \sqrt{x}+6} \quad$ với $(x \geq 0)$
Rút gọn biểu thức $\mathrm{A}$ và tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $\mathrm{A}$ là số tự nhiên.
b) Chứng minh rằng: $A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}<2 \quad(2023$ chữ số 2).
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: $\sqrt{x^2+5 x}+2 \sqrt{x+2}=2 x+\sqrt{x+\frac{10}{x}+7}$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=x^2 \\ x+2 y=y^2\end{array}\right.$
Bài 3 (2,0 điểm)
Xác định số nguyên a ; b sao cho đường thẳng $y=(2 a+1) x+b$ đi qua điểm $M(2 ; 3)$, cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điềm có hoành độ là một số nguyên dương.
Bài 4 ( 8,0 điểm)
Cho hai đường tròn $(\mathrm{O} ; \mathrm{R})$ và đường tròn $\left(\mathrm{O}^{\prime} ; \frac{\mathrm{R}}{2}\right)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $A$. Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $B$ sao cho $A B=R$ và điểm $M$ trên cung lớn A B. Tia MA cắt đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ tại điêm thứ 2 là $N$. Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại $Q$ và cắt đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ ở $\mathrm{P}$.
a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng với tam giác $O^{\prime} A N$. Tải về
b) Tính NQ theo $R$.
c) Xác định vị trí của $M$ để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất theo $R$.
Cho tam giác ABC và một điểm $O$ nằm trong tam giác đó. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, P. Chứng minh rằng: $\frac{O A}{A M}+\frac{O B}{B N}+\frac{O C}{C P}=2$.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+(y+z)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+(z+x)^3}}+\sqrt{\frac{z^3}{z^3+(x+y)^3}}$
