File Word đề thi Toán (Chuyên Tin) – Hà Nội – Năm học 2023 – 2024

File Word đề thi Toán (Chuyên Tin) – Hà Nội – Năm học 2023 – 2024

Câu 1 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình $2 x+2=(5-x) \sqrt{3 x-2}$.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y+3 x y=9 \\ x^3+y^3=9\end{array}\right.$.

Câu II (2,0 điểm)
1) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh số $A=2^{p^3+2}-8$ chia hết cho 21 .
2) Tìm tất cả các số nguyên $x$ và $y$ thỏa mãn $x^3-y^3=2(x-y)^2+17$.

Câu III (2,0 điểm)
1) Cho đa thức $f(x)=x^4+2 x^3+3 x^2+2022 x+2023$. Chứng minh đa thức $f(x)$ không có nghiệm hữu tỉ.
2. Với các số thực a, b và $c$ thỏa mãn $(a+1)(b+1)(c+1)=(a-1)(b-1)(c-1)$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=|a|+|b|+|c|$.

Câu IV (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn $(O ; R)$ và $\left(O^{\prime} ; R^{\prime}\right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B\left(R<R^{\prime}<O O^{\prime}\right)$. Gọi PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)$ với $P \in(O)$ và $Q \in\left(O^{\prime}\right)$. Đường thẳng PQ cắt đường thẳng OO ‘ tại điểm $S$. Qua điểm $S$ vẽ một đường thẳng cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm E, F và cắt đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ tại hai điểm G, H sao cho $S E<S F<S G<S H$.

1) Chứng minh đường thẳng OE song song với đường thằng $O^{\prime} G$.
2) Chứng minh $S A^2=S P . S Q$.
3) Tiếp tuyến tại điểm $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $O O^{\prime}$ tại điểm $M$. Tiếp tuyến tại điểm $A$ của đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ cắt đường thẳng $O O^{\prime}$ tại điểm $N$. Đường thẳng ME cắt đoạn thẳng AB tại điểm $I$. Chứng $\operatorname{minh} \frac{E A^2}{E B^2}=\frac{I A}{I B}$ và ba điểm N, I, H là ba điểm thẳng hàng.

Câu V (1,0 điểm)
Trên bàn có hai túi kẹo: túi thứ nhất có 18 viên kẹo, túi thứ hai có 21 viên kẹo. An và Bình cùng chơi một trò chơi như sau: mỗi lượt chơi, một bạn sẽ lấy đi 1 viên kẹo từ một túi bất kỳ hoặc là mỗi túi lấy đi 1 viên kẹo. Hai bạn luân phiên thực hiện lượt chơi của mình. Người đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc, người còn lại là người thắng cuộc. Nếu An là người lấy kẹo trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi của An để An là người thắng cuộc

File word sẽ có trong ít phút