File Word đề thi Toán chuyên vào 10 Quảng Bình – Năm học 2023 – 2024

Đề thi Toán chung vào 10 Quảng Bình – Năm học 2023 – 2024

Câu I (2,5 điểm)
Cho biểu thức $A=\frac{1}{\sqrt{a}+3}+\frac{6}{a-9}$ vơi $a \geq 0$ và $a \neq 9$.
1. Rút gọn biểu thức $A$.
2. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để $A=\frac{1}{2}$.
Câu II (3,0 điểm)
1. Giải phương trình $x^2+5 x-6=0$.
2. Cho phương trình $x^2+5 x+m-3=0$ ( $m$ là tham số).
a. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm.
b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để $x_1, x_2$ thỏa mãn hệ thức $2 x_1 x_2-\left(x_1+x_2\right)=2$.
Câu III (1,0 điểm)
Với $x \in \mathbb{R}$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4 x^2-2|2 x-3|-12 x+2033$.
Câu IV (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $B C$ và điểm $A$ thuộc nửa đường tròn đó, ( $A$ khác $B$ và $C)$. Lấy điểm $E$ thuộc cung $A B(E$ khác $A$ và $B)$ sao cho $B E<A C$, gọi $M$ là giao điểm của $A B$ và $C E$. Kẻ $M H$ vuông góc với $B C$ tại $H$.
1. Chứng minh tứ giác $A C H M$ nội tiếp.
2. Chứng minh $\triangle B A E$ đồng dạng với $\triangle H A M$.
3. Gọi $K$ là giao điểm của $O E$ và $H A$. Chứng minh $K E \cdot K O=K A . K H$.

Đề thi Toán chuyên vào 10 Quảng Bình – Năm học 2023 – 2024

Câu 1 (2,0 điểm)
a. Tinh giá tri cùa biếu thưrc $A=\sqrt{7-4 \sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15 \sqrt{3}}$.
b. Rùt gọn biếu thức $B=\frac{\sqrt{a}+1}{a-4 \sqrt{a}+4}:\left(\frac{a}{a-2 \sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{a}-2}\right)$ vơi $a>0$ và $a \neq 4$.

Câu 2 (2,0 điểm)
a. Giải hẹ phurong trinh $\left\{\begin{array}{l}x^2+x+y=1 \\ \left(x^2+1\right)(x+y-1)=-2\end{array}\right.$.
b. Cho phương trinh $x^2+2(m+1) x-m^2-3=0$ ( $m$ là tham só). Tim tát cá các giá tri của $m$ đế phương trình có hai nghiệm $x_1<x_2$ thóa mãn $\left|x_1\right|-\left|x_2+5\right| \geq 2023$.

Câu 3 (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa măn $x+y+z=1$. Chứng minh rù̀ng:
$
\frac{1}{x y+2 z^2+2 z}+\frac{1}{y z+2 x^2+2 x}+\frac{1}{x z+2 y^2+2 y} \geq \frac{1}{x y+y z+2 x} \text {. }
$
Câu 4(3,5 điểm )
Cho đương tròn $(O)$ đường kính $A B$. Trên $(O)$ lấy điểm $C$ sao cho $A C>B C(C$ khác $B$ ). Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ṭii $M$. Gọi $H$ là giao diểm của $O M$ và $A C, K$ là giao điểm thứ hai của $B M$ với $(O)$
a. Chứng minh tứ giác $A H K M$ nội tiếp.
b. Chứng minh $H C$ là tia phân giác cùa góc $\widehat{K H B}$.
c. Qua $O$, kè đường thẳng song song với $A M$ cắt $M C$ tại $P, M C$ căt $A B$ tại $Q$. Chúmg minh răng $\frac{A M}{M P}-\frac{M P}{Q P}=1$.

Câu 5 (1,5 điểm)
a. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $n^2+2$ chia hết cho $n+1$.
b. Tìm tất cả các cắp số nguyên dương $(m ; n)$ biết rằng hai phương trình
$-2 m x-3 n=0$ và $x^2-2 n x-3 m=0$ (vơi $x$ là àn) dều có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn

Câu 3
HD

$
\begin{aligned}
\text { Ta có } x y+2 z^2+2 z & =x y+2 z^2+2 z(x+y+z) \\
& =4 z^2+x y+2 z(x+y) \\
& =(2 z+x)(2 z+y)
\end{aligned}
$
Nên: $\frac{1}{x y+2 z^2+2 z}=\frac{x y}{(2 y z+x y)(2 z x+x y)} \geqslant \frac{x y}{\left(\frac{2 y z+x y+2 z x+x y}{2}\right)^2}$
$
\Rightarrow \frac{1}{x y+2 z^2+2 z} \geqslant \frac{x y}{(x y+y z+z x)^2}
$
Trongtu: $\frac{1}{y z+2 x^2+2 x} \geqslant \frac{y z}{(x y+y z+z x)^2}$
$
\frac{1}{z x+2 y^2+z y} \geqslant \frac{z x}{(x y+y z+z x)^2}
$

File word ở comment