File Word đề thi Toán vào 10 Thái Bình – Năm học 2023 – 2024

Đề thi Toán vào 10 Thái Bình – Năm học 2023 – 2024 – Môn Toán chung

Câu 1. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức $P=\left(\frac{x-6 \sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{x+4}{1-x}$ và $Q=\frac{\sqrt{x}}{x+4}($ với $x \geq 0 ; x \neq 1)$.
a) Tính giá trị biểu thức $Q$ vơi $x=4$
b) Chứng minh rằng $P=4 Q,$
c) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P$ nhận giá trị là các số nguyên.

Câu 2. (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}m x+y=3 \\ -x+y=2\end{array}\right.$ (với $m$ là tham số)
a) Giải hệ phương trình với $m=2 $

Câu 3. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P): y=2 x^2$ và đường thẳng $(d): y=x+m$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm $m$ đề $(d)$ đi qua điểm $A(2 ; 8)$.
b) Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2-3 x_1 x_2=5$.

Câu 4. (3,5 điểm) 
1) Cho tam giác $A B C$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O ; R)$. Kẻ $A H$ vuông góc với $B C$ tại $H$, $H K$ vuông góc với $A B$ tại $K$ và $H I$ vuông góc vơi $A C$ tại $I$.
a) Chứng minh tứ giác $A K H I$ nội tiếp.
b) Gọi $E$ là giao điếm của $A H$ với $K I$. Chứng minh rằng $E A \cdot E H=E K . E I$.
c) Chứng minh $K I$ vuông góc với $A O$.
d) Giả sử điểm $A$ và đường tròn $(O ; R)$ cố định, còn dây cung $B C$ thay đổi sao cho $A B \cdot A C=3 R^2$. Xác định vị trí của dây cung $B C$ sao cho tam giác $A B C$ có diện tích lớn nhất.
2) Một hình nón có diện tích đáy bằng $16 \pi\left(\mathrm{cm}^2\right)$ và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.

Câu 5. (0,5 điểm)
Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$
P=\frac{x y^3}{y^3+4}+\frac{y z^3}{z^3+4}+\frac{z x^3}{x^3+4}
$

Đề thi Toán vào 10 Thái Bình – Năm học 2023 – 2024 – Môn Toán chuyên

Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực $x, y$ khác 0 , thỏa mãn $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$ và $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=10$. Chúng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$.
b) Cho đa thức bậc ba $P(x)$ thỏa mãn khi chia $P(x)$ cho $x-1 ; x-2 ; x-3$ đều được số dư là 6 và $P(-1)=-18$. Tìm da thức $P(x)$.
c) Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$
\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=8 ; a+b+c=26 ; a b c=144
$
Tính giá trị biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt{b c}-\sqrt{a}+9}+\frac{1}{\sqrt{c a}-\sqrt{b}+9}+\frac{1}{\sqrt{a b}-\sqrt{c}+9}$.

Câu 2. (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: $3 x^2+x-6=4 x(\sqrt{5 x-6}-1)$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^3-x y^2-6 y=0 \\ (x+y)(x+2 y)=3(x y+2)\end{array}\right.$

Câu 3. (3,5 điểm)
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ với $A B=c, A C=b$. Vẽ đường tròn tâm $O_1$ đường kinh $A B$ và đường tròn tâm $\mathrm{O}_2$ dường kính $A C$. Gọi $H$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $\left(O_1\right)$ và $\left(O_2\right)$. Đường thẳng $(d)$ thay đổi luôn đi qua $A$ cắt các đường tròn $\left(O_1\right)$ và $\left(O_2\right)$ lần lượt tại các điểm $D, E$ (không trùng với $A$ ) sao cho $A$ nằm giữa $D$ và $E$.
a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng $D E$ luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng $(d)$ thay đồi.
b) Xảc định vị tri của đường thẳng $(d)$ để diện tích tứ giác $B D E C$ đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo $b, c$.
c) Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn $D E$ và vuông góc với $B C$ tại điểm $K$. Chứng minh rằng $K B^2=B D^2+K H^2$.

Câu 4. (1,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $(7-p)(7+p)$ chia hết cho 24 .

Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số thục dương $x, y, z$ thỏa mãn $x y+y z+z x=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức
$
P=\frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}-x^2-28 y^2-28 z^2 \text {. }
$

Hướng dẫn

Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a b+b c+c a=1$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $H=\frac{2 \mathrm{a}}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}$.
Lò̀i giải
Từ giả thiết $a b+b c+c a=1$, ta có:
$
\begin{aligned}
& a^2+1=a^2+a b+b c+c a=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(c+a) \\
& b^2+1=(b+c)(a+b) ; c^2+1=(c+a)(b+c) .
\end{aligned}
$
Sử dụng bất đẳng thức $\mathrm{AM}-\mathrm{GM}$ dạng $\sqrt{A B} \leq \frac{A+B}{2}$, ta có:
$
\begin{aligned}
& H=2 \sqrt{\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a}{c+a}}+\sqrt{\frac{b}{2(b+c)} \cdot \frac{2 b}{a+b}}+\sqrt{\frac{2 c}{c+a} \cdot \frac{1}{2(b+c)}} \\
& H \leq 2 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}\right)+\frac{1}{2}\left[\frac{b}{2(b+c)}+\frac{2 b}{a+b}\right] +\frac{1}{2}\left[\frac{2 c}{c+a}+\frac{c}{2(b+c)}\right] \\
& H \leq \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{4(b+c)}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{4(b+c)} \\
& H \leq \frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{4(b+c)}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} \cdot \\
& \text { Đẳng thức xảy ra } \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ \frac { a } { a + b } = \frac { a } { c + a } ; \frac { b } { 2 ( b + c ) } = \frac { 2 b } { a + b } } \\
{ \frac { 2 c } { c + a } = \frac { c } { 2 ( b + c ) } ; a b = b c + c a = 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ b = c } \\
{ a = 7 b = 7 c } \\
{ 2 a b + b ^ { 2 } = 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=\frac{7}{\sqrt{15}} \\
b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}
\end{array}\right.\right.\right.
\end{aligned}
$
Vậy $\max H=\frac{9}{4}$ khi và chi khi $a=\frac{7}{\sqrt{15}} ; b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}$.