File Word đề thi Toán vào 10 Thái Nguyên – Năm học 2023 – 2024

Đề thi vào 10 Thái Nguyên – Năm học 2023 – 2024 – Toán chung

Câu 1. Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức $A=\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$.
Câu 2. Không sử dụng máy tính cầm tay, giải phương trình $x^2-3 x+2=0$.
Câu 3. Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y=3 \\ 2 x+y=7\end{array}\right.$.
Câu 4. Cho hàm số bậc nhất $y=2 x+m$, với $m$ là tham số.
a. Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ? Vì sao?
b. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A(1 ; 3)$.
Câu 5. Cho biểu thức $B=\frac{x}{\sqrt{x}+2}-\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{8}{x+2 \sqrt{x}}$, với $x>0$.
a. Rút gọn biểu thức $B$.
b. Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x=7+4 \sqrt{3}$.
Câu 6. Cho hình chữ nhật có chu vi bằng $30 \mathrm{~cm}$. Nếu chiều rộng tăng thêm $3 \mathrm{~cm}$ và chiều dài giảm đii $1 \mathrm{~cm}$ thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm $18 \mathrm{~cm}^2$. Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đã cho.
Câu 7. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H$. Biết $A H=4 \mathrm{~cm}$ và $H C=3 \mathrm{~cm}$. Tính độ dài các đoạn thẳng $A C, B C$ và $A B$.
Câu 8. Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường chéo $A C$ và $B D$. Biết rằng $\widehat{A B D}=30^{\circ}, \widehat{B D C}=60^{\circ}$. Tính số đo của các cung nhỏ $A D, B C$ và sô đo của $\widehat{B H C}$.
Câu 9. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A(A C>A B)$. Trên tia $B A$ lấy điểm $D$ sao cho $A D=A C$. Kẻ $D H$ vuông góc với $B C$ tại điểm $H$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $D H$ và $A C$. Chứng minh rằng:
a. $\widehat{D H A}=\widehat{D C A}$
b. $A K=A B$.
Câu 10. Cho tam giác $A B C(A B>B C>A C)$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi điểm $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến cạnh $B C$ và $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với điểm $B$ qua điểm $K$. Gọi điểm $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $H M$ và $A C$.
a. Chứng minh rằng bốn điểm $A, H, C, M$ cùng thuộc một đường tròn.
b. Đường thẳng $A H$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F(F \neq A)$. Gọi $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $K N$ và $B F$. Chứng minh rằng $N A . N C=N M . F P$.

Đề thi vào 10 Thái Nguyên – Năm học 2023 – 2024 – Toán chuyên

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức $A=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{x-3 \sqrt{x}+2}\right):\left(2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)$
a. Rút gọn biểu thức $A$.
b. Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $2 \sqrt{x+6}+x^2+4 x-27=0$.

Câu 3(1,0 điểm). Chứng minh rằng:
a. $10^{2023}+2024$ chia hết cho 3 ;
b. $n^3+2024 n+2$ không chia hết cho $10^{2023}+2024$ với mọi số tự nhiên $n$.

Câu 4 (1,0 điểm). Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ để cà hai số $n$ và $\frac{n-10}{3}$ đều là các số chính phương.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho $x, y$ là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn $4 x^2+9 y^2=10$.
Chứng minh rằng $\frac{(2 x+9 y)^3}{4\left(x^2+y^2\right)-4 x-8 y+55} \leq 20$.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và $\widehat{A C B}=30^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$, điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$.
a. Chúng minh rằng $\widehat{A M C}=\widehat{A I C}=120^{\circ}$.
b. Gọi $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $M I$ và $A C$. Chúng minh rằng $A B=A N$.

Câu 7(2,0 điểm). Cho tam giác $A B C(A B>B C)$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Vẽ các đường cao $A D, B E$ và $C F$ của tam giác $A B C$. Gọi điểm $H$ là trực tâm của tam giác $A B C, I$ là trung điểm của đoạn thẳng $D F$. Tia $A I$ cắt đurờng tròn $(O)$ tại $K(K \neq A)$, tia $B E$ cắt đường tròn $(O)$ tại $J(J \neq B)$. Chứng minh rằng:
a. $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $H J$;
b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $I K D$ nằm trên đường thẳng $B C$.